Question

（2012•巴中）如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=

4

3

．点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与A、D点重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的长与点D的坐标．
（2）说明△AEF与△DCE相似．
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用矩形的性质，在Rt△ABC中，利用三角函数求出AC、BC的长度，从而得到A点坐标；由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标；
（2）欲证△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可．如图①，在△AEF与△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，从而问题解决；
（3）当△EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：
①当CE=EF时，此时△AEF与△DCE相似比为1，则有AE=CD；
②当EF=FC时，此时△AEF与△DCE相似比为

6

5

，则有AE=

5

6

CD；
③当CE=CF时，F点与A点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在．

解答：解：（1）由题意tan∠ACB=

4

3

，∴cos∠ACB=

3

5

．
∵四边形ABCO为矩形，AB=16，
∴BC=

AB

tan∠ACB

=12，AC=

BC

cos∠ACB

=20，
∴A点坐标为（-12，0），
∵点D与点A关于y轴对称，
∴D（12，0）．

（2）点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质）
∴∠AEF=∠DCE．
则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE．

（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD=20，
∴OE=AE-OA=20-12=8，
∴E（8，0）；
②当EF=FC时，如图②所示，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=

6

5

EF．
∵△AEF∽△DCE，
∴

EF

CE

=

AE

CD

，即

EF

6 5 EF

=

AE

20

，解得AE=

50

3

，
∴OE=AE-OA=

50

3

-12=

14

3

，
∴E（

14

3

，0）；
③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此时E点与D点重合，这与已知条件矛盾．
综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（8，0）或（

14

3

，0）．

点评：本题综合考查了矩形、等腰三角形、直角三角形等平面几何图形在坐标平面内的性质与变换，相似三角形的判定与性质应用是其核心．难点在于第（3）问，当△EFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解．