题目内容
（满分13分）如图12.1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E(4,0)，顶点M的坐标为 (m,4)，直角梯形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且BC=1，AD=2，AB=3.
（1）求m的值及该抛物线的函数关系式；
（2）将直角梯形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图12.1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向点B匀速移动，设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图12.2所示).
①当t为何值时，△PNC是以PN为底边的等腰三角形；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说
明理由．
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（1）由已知，根据抛物线的轴对称性，得m=2，
∴ 顶点M的坐标为(2,4)， ………………(1分)
故可设其关系式为y=a(x-2)2+4.
又抛物线经过O(0,0)，于是得a(0-2)2+4=0，解得 a=-1. ………(3分)
∴ 所求函数关系式为y=-(x-2)2+4，即y=-x2+4x. ………(4分)
（2）① ∵ 点A在x轴的正半轴上，且N在抛物线上，CB⊥PN,
∴ OA=AP=t，
∴ 点P，B，N的坐标分别为(t,t)，(t,3)，(t, -t2+4t).
∴ BP=3-t，AN= -t2+4t（0≤t≤3）.
∴ PN=AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0. ………(6分)
要使得△PNC是以PN为底边的等腰三角形，
只需PN=2BP，即-t2+3t=2(3-t)，
整理，得t2-5t+6=0，解得 t1=2，t2=3.
当t=3时，P，N两点重合，不符合题意，舍去.
∴ 当t=2时，△PNC是以PN为底边的等腰三角形. ………(8分)
② S存在最大值. ………(9分)
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形.
若t=0，则S=
AD·AB=·3·2=3.
若t=3，则S=BC·AB=·1·3=
.
（ⅱ）当PN≠0，即0＜t＜3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形.
连结PD，CN，则
S=S四边形ANCD-S△ADP= S梯形ABCD+S△BCN -S△ADP
=(BC+AD)·AB+BN·BC-AP·AD
=(1+2)·3+(-t2+4t- 3)·1-t·2
=-t2+t+ 3=-(t-1)2+
.
由-＜0，0＜t＜3，当t=1时，S最大=
.
综上所述，当t=1时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，
这个最大值为. ………………(13分)
解析
时，求正方形的边长.
与
轴、
轴分别交于点B、C ；抛物线
经过B、C两点，并与
是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线
轴于点M，交直线BC于点N ．