Question

如图，在等腰△ACE中，已知CA=CE=2，AE=2c，点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，以BC、CD为边长分别作正方形BCGF和CDHN，连结FM、FH、MH．
（1）求△ACE的面积；
（2）试探究△FMH是否是等腰直角三角形？并对结论给予证明；
（3）当∠GCN=30°时，求△FMH的面积．

Answer 1

分析：（1）连结CM，在RT△ACM中，利用勾股定理求出CM的长即可求出△ACE的面积；
（2）△FMH是等腰直角三角形，连结BM，DM，首先证明四边形四边形BCDM是边长1的菱形，设∠A=α，则∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α，∠MDC=2α．利用三角形的内角和证明∠FMH=180°-∠AMH-∠CMH=180°-（α+θ）=90°即可；
（3）作△HMD的边MD上的高HQ，则由勾股定理有求出DQ的长，再利用三角形的面积公式即可求出△FMH的面积．

解答：解：（1）连结CM，
∵CA=CE=2，M分别是边AE的中点，
∴CM⊥AE．…（1分）
在RT△ACM中，AM=

1

2

AE=c，
由勾股定理得，CM=

AC2-AM2

=

4-c2

．
∴S△ACE=

1

2

AE×CM=

c

2

4-c2

．…（2分）
（2）△FMH是等腰直角三角形．…（3分）
证明：连结BM，DM．∵CA=CE=2，
点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，∴BC=CD=BM=DM=1．…（4分）
∴四边形BCDM是边长为1的菱形，
∴∠CBM=∠CDM．
∴∠CBM+∠FBC=∠CDM+∠HDC，即∠FBM=∠HDM，
∴△FBM≌△MDH．…（4分）
∴FM=MH，且∠FMB=∠HMD（设大小为θ）．
又设∠A=α，则∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α，∠MDC=2α．
在△MDH中，DM=DH=1，
∴∠DHM=∠DMH=θ，
由三角形内角和定理可有：∴∠DHM+∠DMH+∠MDH=180°，
得：θ+θ+2α+90°=180°，
∴α+θ=45°．…（5分）
∴∠FMH=180°-∠AMH-∠CMH=180°-（α+θ）=90°．
∴△FMH是等腰直角三角形． …（6分）
（3）在等腰△ACE中，∠ACE=180°-2α，
又当∠GCN=30°时，∠ACE=360°-∠GCN=180°-30°=150°
从而有：180°-2α=150°，又α+θ=45°，得θ=30°，α=15°．…（7分）
如图，作△HMD的边MD上的高HQ，则由勾股定理有：
DQ=

1

2

DH=

1

2

，HQ2=DH2-DQ2=12-(

1

2

)2=

3

4

MQ=1+

1

2

=

3

2

，MH2=MQ2+HQ2=

9

4

+

3

4

=3…（8分）
∴△FMH的面积S△FMH=

1

2

FM×HM=

1

2

HM2=

3

2

．…（9分）

点评：本题考查了勾股定理的运用、菱形的判定、等腰直角三角形的判定、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性强难度大．解题的关键是作△HMD的边MD上的高HQ，构造直角三角形．