题目内容
（2012•上虞市模拟）如图，将量角器和含30°角（图中的∠BAC）的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使D，C，B三点在同一条直线上，量角器的非圆弧边DC的长恰好是该三角板一边BC的2倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E所对应的量角器上的刻度数是60
60
度（只要求写出锐角的度数）．分析：首先设半圆的圆心为O，连接OE，OA，由题意易得AC是线段OB的垂直平分线，即可求得∠AOC=∠ABC=60°，又由AE是切线，易证得Rt△AOE≌Rt△AOC，继而求得∠AOE的度数，则可求得答案．
解答：
解：设半圆的圆心为O，连接OE，OA，
∵CD=2OC=2BC，
∴OC=BC，
∵∠ACB=90°，即AC⊥OB，
∴OA=BA，
∴∠AOC=∠ABC，
∵∠BAC=30°，
∴∠AOC=∠ABC=60°，
∵AE是切线，
∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ACO=90°，
在Rt△AOE和Rt△AOC中，
∵
，
∴Rt△AOE≌Rt△AOC（HL），
∴∠AOE=∠AOC=60°，
∴∠EOD=180°-∠AOE-∠AOC=60°．
∴点E所对应的量角器上的刻度数是60°．
故答案为：60．
解：设半圆的圆心为O，连接OE，OA，∵CD=2OC=2BC，
∴OC=BC，
∵∠ACB=90°，即AC⊥OB，
∴OA=BA，
∴∠AOC=∠ABC，
∵∠BAC=30°，
∴∠AOC=∠ABC=60°，
∵AE是切线，
∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ACO=90°，
在Rt△AOE和Rt△AOC中，
∵
|
∴Rt△AOE≌Rt△AOC（HL），
∴∠AOE=∠AOC=60°，
∴∠EOD=180°-∠AOE-∠AOC=60°．
∴点E所对应的量角器上的刻度数是60°．
故答案为：60．
点评：此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
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