题目内容
把Rt△ABC如图放置在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC=90°，若点A的坐标为（0，4），AO = 2OB，且∠OAB =∠BAC．
（1）求过点A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长；
（3）在AC上是否存在点Q，使得△QBC为等腰三角形，若存在，请直接写出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
 |
解：（1）过点C作CD⊥x轴于D．
∵A（0，4）， AO=2BO
∴OB=2
∴B(2，0) ………… 1分
∵∠ABC=∠AOB=90°
∠OAB=∠BAC
∴△ABC∽△AOB
∴
∴
∵∠OBA+∠CBD=90°
∠OBA+∠OAB=90°
∴∠OAB=∠CBD
∵∠CDB=∠AOB=90°
∴△AOB∽△BDC
∴
∴BD=2， DC=1
∴C（4，1） ………… 2分
∵抛物线过点A（0
，4）
∴设抛物线解析式为：y = ax2+bx+4 ………… 3分
又∵抛物线过B（2，0），C（4，1）
∴ 4a+2b+4=0
16a+4b+4=1
解得：a =
∴抛物线解析式为：y =
x2-
x+4 ………… 4分
(2)抛物线的对称轴为：直线x =-
………… 5分
作A关于直线x =
的对称点A′，则A′（
，4）………6分
作M关于x轴的对称点M′，则M′（0
，-2） ………… 7分
连接A′M′交x轴于点E，交直线x =于点F
则此时点P经过的路线最短，
由对称性得：ME+FE+FA= A′M′………… 8分
又∵A′M′=
∵直线A′M′解析式为：y =
∴E（
，0）， F（，1） ………… 9分
(3)①若QB=QC时，Q1(2，
) ………… 10分
②若QC=BC时，Q2(
) ………… 11分
③若QB=BC时，Q3(
)………… 12分
【相关知识点】相似三角形的判定、二次函数、轴对称的性质、二元一次方程组、等腰三角形的判定
【解题思路】(1)根据相似三角形的性质求点的坐标.(2)根据所求点的坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式.（3）利用轴对称的性质先把点M、A分别转移到x轴、对称轴的两侧，再利用两点之间线段最短确定出点E和F的位置及最短路线长.(4)由等腰三角形的性质结合相似得出Q点坐标.
（1）按要求填表：
| n | 1 | 2 | 3 |
| xn |
（3）若m，n，p，q是正整数，且xm•xn=xp•xq，试判断m，n，p，q的关系．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中：第一个正方形CM1P1N1的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M1M2P2N2的顶点分别放在Rt△AP1M1的各边上，…，其他正方形依次放入．则第六个正方形的边长x6为
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中：第一个正方形CM1P1N1的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M1M2P2N2的顶点分别放在Rt△AP1M1的各边上，…，其他正方形依次放入．则第三个正方形的边长x3为
（2013•盐城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，把边长分别为x1，x2，x3…xn的n个正方形依次放入△ABC中，则x5的值为（ ）