题目内容

【题目】已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.

(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;

(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.

【答案】1)见解析(224+2

【解析】试题分析:(1)根据关于x的方程x2m+2x+2m﹣1=0的根的判别式的符号来证明结论;

2)根据一元二次方程的解的定义求得m值,然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论:当该直角三角形的两直角边是23时,由勾股定理得斜边的长度为:当该直角三角形的直角边和斜边分别是23时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为;再根据三角形的周长公式进行计算.

1)证明:∵△=m+22﹣42m﹣1=m﹣22+4

在实数范围内,m无论取何值,(m﹣22+40,即0

关于x的方程x2m+2x+2m﹣1=0恒有两个不相等的实数根;

2)解:根据题意,得

12﹣1×m+2+2m﹣1=0

解得,m=2

则方程的另一根为:m+2﹣1=2+1=3

当该直角三角形的两直角边是13时,由勾股定理得斜边的长度为:

该直角三角形的周长为1+3+=4+

当该直角三角形的直角边和斜边分别是13时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2;则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2

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