题目内容
【题目】已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.
(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.
【答案】(1)见解析(2)2;4+2.
【解析】试题分析:(1)根据关于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0的根的判别式的符号来证明结论;
(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值,然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论:①当该直角三角形的两直角边是2、3时,由勾股定理得斜边的长度为:;②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为;再根据三角形的周长公式进行计算.
(1)证明:∵△=(m+2)2﹣4(2m﹣1)=(m﹣2)2+4,
∴在实数范围内,m无论取何值,(m﹣2)2+4>0,即△>0,
∴关于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0恒有两个不相等的实数根;
(2)解:根据题意,得
12﹣1×(m+2)+(2m﹣1)=0,
解得,m=2,
则方程的另一根为:m+2﹣1=2+1=3;
①当该直角三角形的两直角边是1、3时,由勾股定理得斜边的长度为:;
该直角三角形的周长为1+3+=4+;
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2;则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2.
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