Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.

（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径.

Answer 1

（1）通过证明OM⊥AE即可证明AE与⊙O相切。    
(2）半径为

试题分析：（1）证明：连接OM，则OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵点M在圆O上，
∴AE与⊙O相切；
（2）解：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴BE=BC，∠ABC=∠C
∵BC=4，cos C=
∴BE=2，cos∠ABC=
在△ABE中，∠AEB=90°
∴AB=
=6
设⊙O的半径为r，则AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴=
∴=
解得r=
∴⊙O的半径为
点评：此题是综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点