题目内容
【题目】如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A、B和D的距离分别为1,,,△ADP沿点A旋转至△ABP′,连结PP′,并延长AP与BC相交于点Q.
(1)求证:△APP′是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ的大小;
(3)求CQ的长.
【答案】(1)证明详见解析;(2)45°;(3).
【解析】
试题分析:(1)根据旋转的性质可知,△APD≌△AP′B,所以AP=AP′,∠PAD=∠P′AB,因为∠PAD+∠PAB=90°,所以∠P′AB+∠PAB=90°,即∠PAP′=90°,故△APP′是等腰直角三角形;
(2)根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形,再根据平角定义求出结果;
(3)作BE⊥AQ,垂足为E,由∠BPQ=45°,P′B=,求出PE=BE=2,在Rt△ABE中,运用勾股定理求出AB,再由cos∠EAB=cos∠EBQ,求出BQ,则CQ=BC﹣BQ.
试题解析:(1)∵△ADP沿点A旋转至△ABP′,
∴根据旋转的性质可知,△APD≌△AP′B,
∴AP=AP′,∠PAD=∠P′AB,
∵∠PAD+∠PAB=90°,
∴∠P′AB+∠PAB=90°,
即∠PAP′=90°,
∴△APP′是等腰直角三角形;
(2)由(1)知∠PAP′=90°,AP=AP′=1,
∴PP′=,
∵P′B=PD=,PB=,
∴,
∴∠P′PB=90°,
∵△APP′是等腰直角三角形,
∴∠APP′=45°,
∴∠BPQ=180°﹣90°﹣45°=45°;
(3)作BE⊥AQ,垂足为E,
∵∠BPQ=45°,PB=,
∴PE=BE=2,
∴AE=2+1=3,
∴AB==,BE==2,
∵∠EBQ=∠EAB,cos∠EAB=,
∴cos∠EBQ==,
∴,
∴BQ=,
∴CQ==.
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