题目内容

【题目】如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A、B和D的距离分别为1,ADP沿点A旋转至ABP′,连结PP′,并延长AP与BC相交于点Q.

(1)求证:APP′是等腰直角三角形;

(2)求BPQ的大小;

(3)求CQ的长.

【答案】(1)证明详见解析;(2)45°;(3)

【解析】

试题分析:(1)根据旋转的性质可知,APD≌△AP′B,所以AP=AP′,PAD=P′AB,因为PAD+PAB=90°,所以P′AB+PAB=90°,即PAP′=90°,故APP′是等腰直角三角形;

(2)根据勾股定理逆定理可判断PP′B是直角三角形,再根据平角定义求出结果;

(3)作BEAQ,垂足为E,由BPQ=45°,P′B=,求出PE=BE=2,在RtABE中,运用勾股定理求出AB,再由cosEAB=cosEBQ,求出BQ,则CQ=BC﹣BQ.

试题解析:(1)∵△ADP沿点A旋转至ABP′,

根据旋转的性质可知,APD≌△AP′B,

AP=AP′,PAD=P′AB,

∵∠PAD+PAB=90°,

∴∠P′AB+PAB=90°,

PAP′=90°,

∴△APP′是等腰直角三角形;

(2)由(1)知PAP′=90°,AP=AP′=1,

PP′=

P′B=PD=,PB=

∴∠P′PB=90°,

∵△APP′是等腰直角三角形,

∴∠APP′=45°,

∴∠BPQ=180°﹣90°﹣45°=45°;

(3)作BEAQ,垂足为E,

∵∠BPQ=45°,PB=

PE=BE=2,

AE=2+1=3,

AB==,BE==2,

∵∠EBQ=EAB,cosEAB=

cosEBQ==

BQ=

CQ==

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