题目内容

【题目】如图,点A10),B0 )分别在x轴和y轴上,以线段AB为直角边在第一象限内作RtABC,且使∠ABC30°.

1)求直线AB的解析式及点C的坐标;

2)若点Pm )为坐标平面内一点,使得APBABC面积相等,求m的值.

【答案】(1)y=x+,点C(2 )(2)m=.

【解析】试题分析:

(1) 根据一次函数的一般形式,利用点A和点B的坐标可以获得关于一般形式中待定系数的方程,求解这些方程即可确定直线AB的解析式. 要求点C的坐标,可以过点Cx轴的垂线CD只要求得线段ODCD的长即可. 由于已知线段OA的长所以实际上只需要获得线段ADCD的长. 利用已知条件可以求得线段AB的长和∠OAB的值,进而可以得到线段AC的长和∠CAD的值利用RtCAD中的几何关系即可求得线段ADCD的长.

(2) 根据点P坐标的特征和线段OB的长,可以确定点POB的垂直平分线上. 根据第(1)小题求得的线段长度易知△ABC的面积,也就得到了△APB的面积. 利用OB的垂直平分线将△APB的面积分割为两部分进行计算,不难获得△APB的面积与点P和线段AB的中点F的距离PF的关系式进而可以求得线段PF的长. 通过两点之间距离的表达式可以求得点P的坐标从而获得m的值.

试题解析:

(1)

如图过点CCDOA垂足为D.

设直线AB的解析式为y=kx+b (k≠0).

将点A的坐标(1, 0)与点B的坐标(0, )代入该直线的解析式

解之,得

.

∴直线AB的解析式为.

∵点A的坐标是(1, 0)B的坐标是(0, )

OA=1OB=

∴在RtAOB中, .

∵在RtABC,∠ABC=30°

∵在RtABC中,AB2=BC2-AC2=(2AC)2-AC2=3AC2=22=4

AC=.

∵在RtAOB中,

∴∠OBA=30°

∴在RtAOB中,∠OAB=90°-OBA=60°

∵∠BAC=90°

∴∠CAD=180°-BAC-OAB=180°-90°-60°=30°.

∴在RtCAD中,

OD=OA+AD=1+1=2.

∴点C的坐标为(2, ).

(2)

如图,作线段OB的垂直平分线MNOB于点GAB于点F. 过点AAEMN,垂足为E.

OB=P的纵坐标为

∴点POB的垂直平分线MN.

RtABC的面积为

∴△APB的面积为即△AFP的面积与△BFP的面积之和为

.

AE+BG=OB=

.

∵点FOB的垂直平分线MN上,

∴点F的坐标为( ).

∵点F的坐标为( )P的坐标为(m )

m的值为.

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