Question

如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图像经过点B、D．

1.请直接写出用m表示点A、D的坐标

2.求这个二次函数的解析式；

3.点Q为二次函数图像上点P至点B之间的一点，连结PQ、BQ，求四边形ABQP面积的最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

1.A(3－m，0)，D(0，m－3 )

2.设以P（1，0）为顶点的抛物线的解析式为y＝a(x－1)²(a≠0)

∵抛物线过点B、D，

∴    解得  …………4分

所以二次函数的解析式为y＝(x－1)²，

即：y＝x²－2x＋1  …………5分

3.设点Q的坐标为(x，x²－2 x＋1)，显然1＜x＜3  …6分

连结BP，过点Q作QH⊥x轴，交BP于点H.

∵A（－1，0），P（1，0），B（3，4）

∴AP＝2，BC＝3，PC＝2

由P（1，0），B（3，4）求得直线BP的解析式为y＝2x－2

∵QH⊥x轴，点Q的坐标为(x，x²－2 x＋1)

∴点H的横坐标为x，∴点H的坐标为(x，2x－2)

∴QH＝2x－2－(x²－2x＋1)＝－x²＋４x－3  …………7分

∴四边形ABQP面积S＝S_△APB＋S_△QPB＝×AP×BC＋×QH×PC

＝×2×4＋×(－x²＋４x－３)×2

＝－x²＋４x＋1＝－(x－2)²＋5  …………9分

∵1＜x＜3

∴当x＝2时，S取得最大值为5，  …………10分

即当点Q的坐标为(2，1)时，四边形ABQP面积的最大值为5

【解析】略