Question

（2003•天津）已知，如图⊙O₁与⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切线，B、C为切点．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）若r₁、r₂分别为⊙O₁、⊙O₂的半径，且r₁=2r₂．求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点A作两圆的内公切线交BC于点O，再利用切线的性质，证明OA=OB=OC即可；
（2）连续OO₁、OO₂与AB、AC分别交于点E、F，先利用切线的性质证明四边形OEAF是矩形；
再利用三角形的形似、直角三角形的特点和三角函数求出的值．
解答：（1）证明：过点A作两圆的内公切线交BC于点O．
∵OA、OB是⊙O₁的切线，
∴OA=OB．
同理OA=OC，
∴OA=OB=OC．
于是△BAC是直角三角形，∠BAC=90°，
所以AB⊥AC．

（2）解：连接OO₁、OO₂与AB、AC分别交于点E、F．
∵OA、OB是⊙O₁的切线．
∴OO₁⊥AB，
同理OO₂⊥AC．
根据（1）的结论AB⊥AC，可知四边形OEAF是矩形，有∠EOF=90°．
连接O₁O₂，有OA⊥O₁O₂．在Rt△O₁OO₂中，有Rt△O₁AO∽Rt△OAO₂，
∴，
于是OA²=O₁A•O₂A=r₁•r₂=2r₂²，
∴OA=r²，
又∵∠ACB是⊙O₂的弦切角，
∴∠ACB=∠AO₂O．
在Rt△OAO₂中，tan∠AO₂O=，
∴=tan∠ACB=tan∠AO₂O=．
点评：本题综合考查了直线与圆、圆与圆的位置关系，全等三角形的判定、图形的平移变换等多个知识点．