题目内容

某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点EAB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.

(1)当MNAB之间的距离为0.5米时,求此时△EMN的面积;

(2)设MNAB之间的距离为6ec8aac122bd4f6e米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数; 

(3)请你探究△EMN的面积S(平方米)有无最大值,若有,请求出这个最大值;若没有,请说明理由.  

6ec8aac122bd4f6e
 


6ec8aac122bd4f6e解:(1)由题意,当MNAB之间的距离为0.5米时,MN应位于DC下方,且此时△EMNMN边上的高为0.5米.

所以,SEMN=6ec8aac122bd4f6e=0.5(平方米).

即△EMN的面积为0.5平方米.

(2)①如图1所示,当MN在矩形区域滑动,

E

 
即0<x≤1时, 

EMN的面积S=6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e

图1

 
②如图2所示,当MN在三角形区域滑动,

即1<x6ec8aac122bd4f6e时,

如图,连接EG,交CD于点F,交MN于点H

EAB中点,

FCD中点,GFCD,且FG6ec8aac122bd4f6e.

6ec8aac122bd4f6e又∵ MNCD

∴ △MNG∽△DCG.

6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e

故△EMN的面积S6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

综合可得: 

6ec8aac122bd4f6e  

(3)①当MN在矩形区域滑动时,6ec8aac122bd4f6e,所以有6ec8aac122bd4f6e

②当MN在三角形区域滑动时,S=6ec8aac122bd4f6e.

因而,当6ec8aac122bd4f6e(米)时,S得到最大值,

最大值S=6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e(平方米). 

6ec8aac122bd4f6e

S有最大值,最大值为6ec8aac122bd4f6e平方米.

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