题目内容
某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
(1)当MN和AB之间的距离为0.5米时,求此时△EMN的面积;
(2)设MN与AB之间的距离为米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;
(3)请你探究△EMN的面积S(平方米)有无最大值,若有,请求出这个最大值;若没有,请说明理由.
解:(1)由题意,当MN和AB之间的距离为0.5米时,MN应位于DC下方,且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.
所以,S△EMN==0.5(平方米).
即△EMN的面积为0.5平方米.
(2)①如图1所示,当MN在矩形区域滑动,
|
△EMN的面积S==;
|
即1<x<时,
如图,连接EG,交CD于点F,交MN于点H,
∵ E为AB中点,
∴ F为CD中点,GF⊥CD,且FG=.
又∵ MN∥CD,
∴ △MNG∽△DCG.
∴ ,即.
故△EMN的面积S=
=;
综合可得:
(3)①当MN在矩形区域滑动时,,所以有
②当MN在三角形区域滑动时,S=.
因而,当(米)时,S得到最大值,
最大值S===(平方米).
∵ ,
∴ S有最大值,最大值为平方米.
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