Question

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4

【小题1】求证：△ABE∽△ADB；
【小题2】求AB的长
【小题3】延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【小题1】见解析
【小题2】
【小题3】见解析解析:
本题涉及的知识点有三角形的相似、直线和圆的位置关系。
解：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠BAE=∠EAB，
∴△ABE∽△ADB………4分
（2）∵△ABE∽△ADB，
∴，
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB=．………4分
（3）直线FA与⊙O相切，………9分
理由如下：
连接OA，∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴，
BF=BO=，
∵AB=，
∴BF=BO=AB，
∴∠OAF=90°，
∴直线FA与⊙O相切．