Question

为发展“低碳经济”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用．从今年1月1日开始，该单位每月再生资源处理量y（吨）与月份x之间成如下一次函数关系：

月份x	1	2
再生资源处理量y（吨）	40	50

月处理成本z（元）与每月再生资源处理量y（吨）之间的函数关系可近似地表示为：z=

1

2

y2-20y+700，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元．
（1）该单位哪个月获得利润最大？最大是多少？
（2）随着人们环保意识的增加，该单位需求的可再生资源数量受限．今年三、四月份的再生资源处理量都比二月份减少了m%，该新产品的产量也随之减少，其售价都比二月份的售价增加了0.6m%．五月份，该单位得到国家科委的技术支持，使月处理成本比二月份的降低了20%．如果该单位在保持三月份的再生资源处理量和新产品售价的基础上，其利润是二月份的利润的一样，求m．（ m保留整数）
 （

157

≈12.53，

156

≈12.49，

158

≈12.57）

Answer 1

分析：（1）首先根据表格求出y与x的函数关系式，然后利用已知条件即可得到z与x的函数关系式，接着就可以得到利润与x之间的函数关系式，利用二次函数的性质即可求解；
（2）首先根据已知条件和（1）中的函数关系式可以分别求出：二月处理量、二月价格、二月成本、二月利润、三月、四月、五月处理量、三月、四月、五月价格、五月成本，接着利用已知条件即可列出方程100×50（1-m%）（1+0.6m%）-950×（1-20%）=4050，解方程即可解决问题．

解答：解：（1）y=10x+30
z=

1

2

(10x+30)2-20(10x+30)+700
=50x²+100x+550（2分）
利润S=100y-z
=-50x²+900x+2450
当x=9时，S_最大=6500元（2分）
（2）二月处理量：50吨
二月价格：100元/吨
二月成本：950元
二月利润：4050元
三月、四月、五月处理量：50（1-m%）吨
三月、四月、五月价格：100（1+0.6m%）元
五月成本：950（1-20%）元（2分）
五月利润：
100×50（1-m%）（1+0.6m%）-950×（1-20%）=4050（2分）
令m%=a，则a=

-2± 157 5

6

a₁=

-2+ 157 5

6

≈0.08，a₂=

-2- 157 5

6

≈-0.75(舍)，
∴m≈8（2分）

点评：本题主要考查二次函数的最大值和用方程解决实际应用题．属稍难题，考试要求比较高．