题目内容

请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，即如图（1），若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD，请你根据以上材料，解决下列问题，已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作圆O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R。（如图（2））

（1）若AC恰经过圆心O，请你在图（3）中画出符合题意的图形，并计算：

的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图（4）中画出符合题意的图形，并计算：

的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图（2）），请你结合（1）（2）的结论，猜想：

的值，并给出证明。

解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，如图（1）所示， ∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C， ∴Q与A重合，R与C重合，OP=1，AC=4， ∴=
（2）连接OA，如图（2）所示，OP⊥AC于点P，且OP=1，OA=2 ∴∠OAP=30°， ∴AP=， OA⊥直线m，PQ⊥直线m， ∴OA∥PQ，∠PQA=90°， ∴∠APQ=∠OAP=30°， ∴在Rt△AQP中，PQ=，同理：；
（3）猜想：证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接CE，如图（3）所示 ∴ECA=90°AEi直线m，PQ上直线m， ∴AE∥PQ且∠PQA=90° ∴∠EAC=∠APQ ∴△AEC∽△PAQ ，同理可得：， ①+②，得过点P作直径交⊙O于点M，N由阅读材料可知：AP·PC=PM·PN=3，。

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（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算： $数学公式$ 的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算： $数学公式$ 的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想： $数学公式$ 的值，并给出证明．

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的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：

的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：

的值，并给出证明．

（2009•东城区一模）请阅读下列材料：
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的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：

的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：

的值，并给出证明．