Question

（2009•曾都区模拟）（1）如图，在线段AB上取一点C（BC＞AC），分别以AC、BC为边在同一侧作等边△ACD与等边△BCE，连接AE、BD，则△ACE经过怎样的变换（平移、轴对称、旋转）能得到△DCB？请写出具体的变换过程；（不必写理由）

（2）如图，在线段AB上取一点C（BC＞AC），如果以AC、BC为边在同一侧作正方形ACDG与正方形CBEF，连接EG，取EG的中点M，设DM的延长线交EF于N，并且DG=NE；请探究DM与FM的关系，并加以证明；

（3）在第二题图的基础上，将正方形CBEF绕点C顺时针旋转（如图），使得A、C、E在同一条直线上，请你继续探究线段MD、MF的关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）容易根据已知条件证明△ACE≌△DCE，所以△ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到△DCB；
（2）相等且垂直．根据已知得到DG=NE，MG=ME，而根据已知NB∥GD，现在就可以证明△MGD≌△MEN，从而得到DM=NM，而∠DFN=90°，从而得到，而NE=GD，GD=CD，可以推出NE=CD，∴FN=FD，可以得到FM⊥DM，所以DM与FM相等且垂直；
（3）相等且垂直．延长DM交CE于N，连接DF、FN，先证△MGD≌△MNE，可以得到DM=NM，NE=DG，再根据正方形的性质和全等三角形的性质可以得到DC=DG=NE，FC=FE，现在可以证明△DCF≌△NEF，然后利用全等三角形的性质就可以证FM=DM，FM⊥DM．
解答：解：（1）将△ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到△DCB；

（2）如图，相等且垂直．理由如下：
∵EF∥GD，
∴∠NEM=∠DGM，而EN=GD，GM=EM，
∴△MGD≌△MEN，
∴DM=NM，在Rt△DNF中，，
∵NE=GD，GD=CD，
∴NE=CD，
∴FN=FD，
即FM⊥DM，
∴DM与FM相等且垂直．

（3）如图，MD与MF相等且垂直．理由如下：
延长DM交CE于N，连接DF、FN，
根据（2）可以得到△MGD≌△MNE，
∴DM=NM，NE=DG，
∵∠DCF=∠FEN=45°，DC=DG=NE，FC=FE，
∴△DCF≌△NEF，
∴DF=FN，∠DFC=∠NFE，
∴∠DFN=90°，即△FDN为等腰直角三角形，
∵DM=NM，即FM为斜边DN的中线，
∴FM=DM=NM=DN，且FM⊥DN，
则FM=DM，FM⊥DM．
点评：此题是开放性试题，把图形变换放在正方形的背景中，利用正方形的性质进行探究，然后找到图形变换的规律．