Question

（1）请你任意写出五个正的真分数：

 

、

 

、

 

、

 

、

 

．请给每个分数的分子和分母同加上一个正数得到五个新分数：

 

、

 

、

 

、

 

、

 

．
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是

a

b

（a、b均为正数，a＜b）给其分子、分母同加上一个正数m，得

a+m

b+m

，则两个分数的大小关系是：

a+m

b+m

 

a

b

．
（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：

 

．
（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？
（5）解决问题：如图所示，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的小路，原来的绿地与现在铺过小路后的绿地的长与宽的比值是否相等？为什么？
（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题．请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子．

Answer 1

分析：（1）按题目要求进行解答即可．
（2）由（1）的结论可得到

a+m

b+m

＞

a

b

；可通过作差法来证明：
令

a+m

b+m

-

a

b

=

m(b-a)

b(b+m)

，由于b-a＞0，所以

m(b-a)

b(b+m)

＞0，因此上述结论是成立的．
（3）可表述为：给一正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数．
（4）可作出三个矩形，边长分别为：a、b，a、m，m、b；然后用a、b、m分别表示出三个矩形的面积，根据它们的面积关系来判断（2）的结论是否正确．
（5）由于绿地的形状是长方形，即长、宽不相等，若长、宽同时加上相同的正数，根据（2）的结论可知长和宽的比值会改变．
（6）此题的答案不唯一，如a＞b，即

a

b

是假分数时，结论是否有变化等．

解答：解：（1）

1

2

、

1

4

、

1

6

、

1

8

、

1

9

，

2

3

、

2

5

、

2

7

、

2

9

、

1

5

．（答案不唯一，符合要求即可）
（2）

a+m

b+m

＞

a

b

；
（3）给一正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；
（4）如图所示，由a＜b，得S+S₁＞S+S₂，可以推出：

a+m

b+m

＞

a

b

．

（5）两块绿地的长与宽的比值不相等．
理由：设长方形的绿地的宽和长分别为a、b，且a＜b，若铺设的路宽为m，
则铺过小路后的宽和长分别为：a+m、b+m，由（2）的结论知：

a

b

＜

a+m

b+m

；
显然比值是不相等的．
（6）数学问题举例：
①若

a

b

是假分数，会有怎样的结论？
②a、b不是正数，或不全为正数，情况如何？（答案不唯一）

点评：此题实际考查的是分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．