题目内容

【题目】如图,四边形ABCD为矩形,C点在轴上,A点在轴上,D(00)B(34),矩形ABCD沿直线EF折叠,点B落在AD边上的G处,EF分别在BCAB边上且F(14)

(1)G点坐标

(2)求直线EF解析式

(3)N在坐标轴上,直线EF上是否存在点M,使以MNFG为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由

【答案】1G04-);(2;(3.

【解析】

11)由F14),B34),得出AF=1BF=2,根据折叠的性质得到GF=BF=2,在RtAGF中,利用勾股定理求出 ,那么OG=OA-AG=4-,于是G04-);

2)先在RtAGF中,由 ,得出∠AFG=60°,再由折叠的性质得出∠GFE=BFE=60°,解RtBFE,求出BE=BF tan60°=2,那么CE=4-2E34-2.设直线EF的表达式为y=kx+b,将E34-2),F14)代入,利用待定系数法即可求出直线EF的解析.3)因为MN均为动点,只有FG已经确定,所以可从此入手,结合图形,按照FG为一边,N点在x轴上;FG为一边,N点在y轴上;FG为对角线的思路,顺序探究可能的平行四边形的形状.确定平行四边形的位置与形状之后,利用平行四边形及平移的性质求得M点的坐标.

解:(1)∵F14),B34),

AF=1BF=2

由折叠的性质得:GF=BF=2

RtAGF中,由勾股定理得,

B34),

OA=4

OG=4-

G04-);

2)在RtAGF中,

∴∠AFG=60°,由折叠的性质得知:∠GFE=BFE=60°,

RtBFE中,

BE=BFtan60°=2

.CE=4-2

.E34-2.

设直线EF的表达式为y=kx+b

E34-2),F14),

解得

3)若以MNFG为顶点的四边形是平行四边形,则分如下四种情况:

FG为平行四边形的一边,N点在x轴上,GFMN为平行四边形,如图1所示.

过点GEF的平行线,交x轴于点N1,再过点N:作GF的平行线,交EF于点M,得平行四边形GFM1N1.

GN1EF,直线EF的解析式为

∴直线GN1的解析式为

y=0时, .

GFM1N1是平行四边形,且G04-),F14),N1 0),

M,( );

FG为平行四边形的一边,N点在x轴上,GFNM为平行四边形,如图2所示.

GFN2M2为平行四边形,

GNFM2互相平分.

G04-),N2点纵坐标为0

GN:中点的纵坐标为

GN中点的坐标为(x.

GN2中点与FM2中点重合,

∴x=

.GN2的中点的坐标为(),

.N2点的坐标为(0.

GFN2M2为平行四边形,且G04-),F14),N20),

M2);

FG为平行四边形的一边,N点在y轴上,GFNM为平行四边形,如图3所示.

GFN3M3为平行四边形,.

GN3FM3互相平分.

G04-),N2点横坐标为0

.GN3中点的横坐标为0

FM3的横坐标互为相反数,

M3的横坐标为-1

x=-1时,y=

M3-14+2);

FG为平行四边形的对角线,GMFN为平行四边形,如图4所示.

过点GEF的平行线,交x轴于点N4,连结N4GF的中点并延长,交EF于点M。,得平行四边形GM4FN4

G04-),F14),

FG中点坐标为(),

M4N4的中点与FG的中点重合,且N4的纵坐标为0

.M4的纵坐标为8-.

5-45解方程 ,得

M4.

综上所述,直线EF上存在点M,使以MNFG为顶点的四边形是平行四边形,此时M点坐标为:

练习册系列答案
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OEAB

∴∠COE=CADEOD=ODA

OA=OD,

∴∠OAD=ODA

∴∠COE=DOE

在△COE和△DOE中,

∴△COE≌△DOE(SAS),

EDOD

ED的切线;

(2)连接CD,交OEM

RtODE中,

OD=32,DE=2,

OEAB

∴△COE∽△CAB

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AC是直径,

EFAB

SADF=S梯形ABEFS梯形DBEF

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