Question

（2013•惠山区一模）已知点A，B分别在反比例函数y=

2

x

（x＞0），y=

-8

x

（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则tanB为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  2

• C．

  1

  3

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：首先设出点A和点B的坐标分别为：（x₁，

2

x1

）、（x₂，-

8

x2

），设线段OA所在的直线的解析式为：y=k₁x，线段OB所在的直线的解析式为：y=k₂x，然后根据OA⊥OB，得到k₁k₂=

2

x 2 1

•（-

8

x 2 2

）=-1，然后利用正切的定义进行化简求值即可．

解答：解：设点A的坐标为（x₁，

2

x1

），点B的坐标为（x₂，-

8

x2

），
设线段OA所在的直线的解析式为：y=k₁x，线段OB所在的直线的解析式为：y=k₂x，
则k₁=

2

x 2 1

，k₂=-

8

x 2 2

，
∵OA⊥OB，
∴k₁k₂=

2

x 2 1

•（-

8

x 2 2

）=-1
整理得：（x₁x₂）²=16，
∴tanB=

OA

OB

=

x 2 1 +( 2 x1 )2

x 2 2 +( -8 x2 )2

=

x 2 2 x 4 1 +4 x 2 2 x 2 1 x 4 2 + 64x 2 1

=

4 x 2 2 +16 x 2 1 64 x 2 1 +1 6x 2 2

=

2(2 x 2 2 +8 x 2 1 ) (-8)×(-8 x 2 1 -2 x 2 2 )

=

- 2 -8

=

1

2

．
故选B．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，解题的关键是设出A、B两点的坐标，然后利用互相垂直的两条直线的比例系数互为负倒数求解．