题目内容
(2004•呼和浩特)如图,MN切⊙O于P,AB是⊙O的弦,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N,PQ⊥AB于Q.
求证:PQ2=AM•BN.
求证:PQ2=AM•BN.
分析:连接AP,BP欲证题中结论,只需证
=
,而要证此式,必须借助于第三个比即中间比.由△PAM∽△BPQ可得
=
,再由△PBN∽△APQ可得
=
,进而证明PQ2=AM•BN.
PQ |
AM |
BN |
PQ |
PQ |
AM |
PB |
PA |
PB |
PA |
BN |
PQ |
解答:证明:连接AP,BP,
∵AM⊥MN于M,PQ⊥AB于Q.
∴∠AMP=∠PQB=90°,
∵∠1=∠2,
∴△PAM∽△BPQ,
∴
=
,
同理可得:
=
,
∴
=
,
∴PQ2=AM•BN.
∵AM⊥MN于M,PQ⊥AB于Q.
∴∠AMP=∠PQB=90°,
∵∠1=∠2,
∴△PAM∽△BPQ,
∴
PQ |
AM |
PB |
PA |
同理可得:
PB |
PA |
BN |
PQ |
∴
PQ |
AM |
BN |
PQ |
∴PQ2=AM•BN.
点评:本题考查了和圆有关的比例线段的证明题,可由所要证的比例式找到相似三角形;当要证明的比例式不能直接应用有关定理和相似三角形来证明时,可以考虑等量代换.等量代换通常有等线段代换、等比代换等.
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