题目内容
图1，是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．
操作与思考：
操作：若将图1中的△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD、BE，如图2或如图3；
思考：在图2和图3中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系，并说明理由．
猜想与发现：根据上面的操作和思考过程，请你猜想：当α为
操作与思考：
操作：若将图1中的△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD、BE，如图2或如图3；
思考：在图2和图3中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系，并说明理由．
猜想与发现：根据上面的操作和思考过程，请你猜想：当α为
180
180
度时，线段AD的长度最大，当α为某个角度时，线段AD的长度最小，最小是a-b
a-b
．分析：在图2中，根据△ABC和△C′DE都是等边三角形得CB=CA，CE=CD，∠BCA=60°，∠ECD=60°，再根据旋转的性质得∠BCE=∠ACD=α，则可根据“SAS”判断△BCE≌△ACD，所以有BE=AD；在图3中用同样的方法可得到BE=AD；
根据前面的旋转得到当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，则此时旋转的角度为180°；当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD的长度最小，最小值为AC-CD．
根据前面的旋转得到当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，则此时旋转的角度为180°；当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD的长度最小，最小值为AC-CD．
解答：解：在图2中，BE=AD．理由如下：
在图1中，∵△ABC和△C′DE都是等边三角形，
∴CB=CA，CE=CD，∠BCA=60°，∠ECD=60°，
∵△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，
∴∠BCE=∠ACD=α，
在△BCE和△ACD中
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；
在图3中，BE=AD．理由如下：
∵△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，
∴∠BCE=∠ACD=α，
与前面一样可证得△BCE≌△ACD（SAS），则BE=AD；
当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，所以α=180°；
当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD的长度最小，最小值为AC-CD=a-b．
故答案为180°；a-b．
在图1中，∵△ABC和△C′DE都是等边三角形，
∴CB=CA，CE=CD，∠BCA=60°，∠ECD=60°，
∵△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，
∴∠BCE=∠ACD=α，
在△BCE和△ACD中
|
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；
在图3中，BE=AD．理由如下：
∵△C′DE绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，
∴∠BCE=∠ACD=α，
与前面一样可证得△BCE≌△ACD（SAS），则BE=AD；
当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，所以α=180°；
当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD的长度最小，最小值为AC-CD=a-b．
故答案为180°；a-b．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质．
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