Question

如图，ON为∠AOB中的一条射线，点P在边OA上，PH⊥OB于H，交ON于点Q，PM∥OB交ON于点M，MD⊥OB于点D，QR∥OB交MD于点R，连接PR交QM于点S．
（1）求证：四边形PQRM为矩形；
（2）若OP=

1

2

PR，试探究∠AOB与∠BON的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得PH∥MD，再根据平行于同一直线的两直线平行可得PM∥QR，然后求出四边形PQRM是平行四边形，再求出∠MPQ=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2）根据矩形的对角线互相平分可得PS=

1

2

PR，然后求出OP=PS，根据等边对等角的性质可得∠POS=∠PSO，再根据两直线平行，同位角相等可得∠SQR=∠BON，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PSO=2∠SQR，然后整理即可得解．

解答：（1）证明：∵PH⊥OB，MD⊥OB，
∴PH∥MD，
∵PM∥OB，QR∥OB，
∴PM∥QR，
∴四边形PQRM是平行四边形，
∵PH⊥OB，
∴∠PHO=90°，
∵PM∥OB，
∴∠MPQ=∠PHO=90°，
∴四边形PQRM为矩形；

（2）解：∠AOB=3∠BON．理由如下：
∵四边形PQRM为矩形，
∴PS=SR=SQ=

1

2

PR，
∴∠SQR=∠SRQ，
又∵OP=

1

2

PR，
∴OP=PS，
∴∠POS=∠PSO，
∵QR∥OB，
∴∠SQR=∠BON，
在△SQR中，∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠SQR=2∠BON，
∴∠POS=2∠BON，
∴∠AOB=∠POS+∠BON=2∠BON+∠BON=3∠BON，
即∠AOB=3∠BON．

点评：本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角的性质，两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．