Question

（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，直线L：y=-2x-8分别与x轴、y轴相交于A、B两点，点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P。

（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与X轴的位置关系，并说明理由；
（2）当K为何值时，以⊙P与直线L的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

Answer 1

（１）由直线L的解析式可知A（-4，0），B（0，-8）


设OP=X，则BP=8-X，AP=8-X
由勾股定理得  X² + 4² =（8-X）²
解得    X =" 3    " ---------------2分
∴ OP =" R" =" 3    "
∴⊙P与X轴相切      --------------2分
（2）分两种情况讨论：
①当圆心P在线段OB上
由⊿AOB ∽ ⊿PEB得      
把AO=4，AB=4，PE=代入比例式得                  PB=             --------------------2分
∴  OP =" " 8－   ∴  K = －8   -----1分
②当圆心P在线段OB的延长线上时：
由⊿AOB ∽ ⊿PEB同样可得   PB=
∴  OP =" " 8 ＋     ∴  K = －－8 （2分）
∴当K=－8或－－8时，以⊙P与直线L的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。     --------------1分

略