Question

（2012•广陵区二模）如图，面积为39的直角梯形OABC的直角顶点C在x轴上，点C坐标为（8

2

，0），AB=5

2

，点D是AB边上的一点，且AD：BD=2：3．有一45°的角的顶点E在x轴上运动，角的一边过点D，角的另一边与直线OA交于点F（点D、E、F按顺时针排列），连接DF．设CE=x，OF=y．
（1）求点D的坐标及∠AOC的度数；
（2）若点E在x轴正半轴上运动，求y与x的函数关系式；
（3）在点E的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△DEF成为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作AH⊥OC于H，就可以得出四边形AHCB是矩形，由矩形的性质就可以得出AB=CH，AH=BC，设BC=x，由梯形的面积公式建立方程就可以求出BC的值，就可以求出OH的值，就可以得出∠AOH的值，再根据比例问题就可以求出AD、DB的值就可以得出D的坐标；
（2）分为两种情况，当E在OC上时，连接CD，通过证明△OEF∽△CDE，由相似三角形的性质可以得出结论，当E在C的右侧上时，如图3，连接CD，证明△OEF∽△CDE，由相似三角形的性质可以得出结论；
（3）当E在OC上时，如图4，当EM=ED，在△OEF和△CDE中，由△OEF≌△CDE可以得出结论，若DF=DE，则∠EDF=Rt∠，如图5，作EG⊥AB于G，FH⊥AB交BA的延长线于点H，由△DFH≌△EDG可以得出结论，FD=FE，则∠DFE=Rt∠，如图过F作FN⊥OC于点N交直线AB于点H，由△HDF≌△NFE可以得出结论，当E在C的右侧时，如图7，∠DEM=45°，∠DFE＜45°，∠FDE＞45°△DEM不可能是等腰三角形，当E在O的左侧时，如图8，由点D、E、F要按顺时针排列，E在O的左侧不存在．故得出结论．

解答：解：（1）作AH⊥OC于H，设BC=x，
∴四边形AHCB是矩形，∠AHO=90°，
∴AH=BC，AB=HC．
∵AB=5

2

，
∴HC=5

2

，．
∵C坐标为（8

2

，0），
∴OC=8

2

，
∴OH=3

2

．
∴

(8 2 +5 2 )x

2

=39，
∴x=3

2

．
∴AH=BC=3

2

，
∴OH=AH，
∴∠AOH=45°．
∵AD：BD=2：3．设每份为a，则AD=2a，BD=3a，
∴2a+3a=5

2

，
∴a=

2

，
∴AD=2

2

，BD=3

2

，
∴D（8

2

-3

2

，3

2

）
即D(5

2

，3

2

)，
答：D（5

2

，3

2

），∠AOC=45°；

（2）当E在OC上时，如图2，连接CD，
∵∠DEF=45°，
∴∠OEF+∠DEC=135°．
∵∠AOE=45°，
∴∠OFE+∠OEF=135°，
∴∠OFE=∠DEC．
∵DB=CB=3

2

，
∴∠DCB=∠BDC=45°，CD=6．
∴∠DCO=45°，
∴∠FOE=∠ECD
∴△OEF∽△CDE
∴

OF

OE

=

CE

CD

，
∴

y

8 2 -x

=

x

6

∴y=-

x 2

6

+

4 2

3

x；
当E在C的右侧上时，如图3，连接CD，
∵AB∥OC，
∴∠BDC=∠CEO．
∵∠BDC=∠DEF=45°，
∴∠BDC-∠BDC=∠DEF-∠DEO
即∠CDE=∠OEF，
∵∠FOE=∠DCE=135°，
∴△OEF∽△CDE
∴

OF

OE

=

CE

CD

，
∴

y

8 2 +x

=

x

6

，
∴y=

x 2

6

+

4 2

3

x；
（3）当E在OC上时，如图4，
若EF=ED，
∵在△OEF和△CDE中，

∠FOE=∠ECD ∠OFE=∠CED FE=ED

，
∴△OEF≌△CDE（AAS）
∴OE=CD=6，CE=8

2

-6，
∴OF=CE=8

2

-6，作FN⊥OC于点N
∴ON=FN=8-3

2

，
∴F(8-3

2

，8-3

2

)；
若DF=DE，则∠EDF=Rt∠，如图5，
作EG⊥AB于G，FH⊥AB交BA的延长线于点H，
∴∠FHA=∠EGD=90°．
∵∠FDH+∠EDG=90°，∠EDG+∠DEG=90°，
∴∠FDH=∠DEG．
∵在△DFH和△EDG中，

∠FHA=∠EGD ∠FDH=∠DEG DF=DE

，
∴△DFH≌△EDG（AAS），
∴DH=EG=3

2

，
∴HA=HF=

2

，
∴H(2

2

，3

2

)，
F(2

2

，2

2

)
若FD=FE，则∠DFE=Rt∠，如图过F作FN⊥OC于点N交直线
AB于点H，
∴∠AHF=∠FNE=90°．
∵∠DFE=90°，
∴∠HFD=∠NEF．
∵在△HDF和△NFE中

∠AHF=∠FNE ∠HFD=∠NEF FD=FE

，
∴△HDF≌△NFE（AAS），
∴HD=FN．
设ON=x，则FN=x，FH=3

2

-x，DH=5

2

-x
∴x=5

2

-x，
∴x=

5

2

2

，
∴F(

5

2

2

，

5

2

2

)
当E在C的右侧时，如图7，∠DEM=45°，∠DFE＜45°，∠FDE＞45°
∴△DEM不可能是等腰三角形
当E在O的左侧时，如图8，
∵点D、E、F按顺时针排列，
∴E在O的左侧不存在．
综合得：F₁(8-3

2

，8-3

2

)，F₂（2

2

，2

2

），F₃(

5

2

2

，

5

2

2

)．

点评：本题考查了直角梯形的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想的运用，解答本题是认真审题，全面考虑是关键．要求学生要有较强的分析能力．