题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点F.
(1)求证:EF与⊙O相切;
(2)若AB=6,AD=,求EF的长.
【答案】
(1)
证明:连接OD,
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠EAD.
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD.
∴∠ODA=∠EAD.
∴OD∥AE.
∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上,
∴EF与⊙O相切.
(2)
解:连接BD,过点D作DG⊥AB于G,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵AB=6,AD=,
∴BD==2,
∵OD=OB=3,
设OG=x,则BG=3﹣x,
∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2,即32﹣x2=22﹣(3﹣x)2,
解得x=,
∴OG=,
∴DG==,
∵AD平分∠CAB,AE⊥DE,DG⊥AB,
∴DE=DG=,
∴AE==,
∵OD∥AE,
∴△ODF∽△AEF,
∴,即,
∴,
∴EF=.
【解析】(1)连接OD,由题可知,E已经是圆上一点,欲证CD为切线,只需证明∠ODF=90°即可.
(2)连接BD,作DG⊥AB于G,根据勾股定理求出BD,进而根据勾股定理求得DG,根据角平分线性质求得DE=DG=,然后根据△ODF∽△AEF,得出比例式,即可求得EF的长.
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