题目内容
【题目】阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简
．
解：将分子、分母同乘以
得：
．
类比应用：
（1）化简：
；
（2）化简：
．
拓展延伸：
宽与长的比是
的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC= ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ．
【答案】类比应用：（1）
；（2）2；拓展延伸：（1）
；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3）
【解析】
类比应用：
（1）仿照题干中的过程进行计算；
（2）仿照题干中的过程进行计算；
拓展延伸：
（1）根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算；
（2）根据题意算出AD的长，从而得出DF，证明DF和EF的比值为
即可；
（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据△AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可.
解：类比应用：
（1）根据题意可得：
=；
（2）根据题意可得：
=
=
=
=2；
拓展延伸：
（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，
若黄金矩形ABCD的宽AB=1，
则黄金矩形ABCD的长BC=
=
=；
（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是：
由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，
根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=
，
∴FD=EC=AD-AF=
=，
∴
=
，
故矩形DCEF为黄金矩形；
（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，
∵AB=EF=1，AD=，
∴AE=
，
在△AED中，
S△AED =
，
即
，则
，
解得DG=，
∴点D到线段AE的距离为.
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