题目内容

（2012•苏州）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：
3
≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为
11.0
11.0
米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
分析：（1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，进而得出EF的长，即可得出答案；
（2）利用在Rt△DPA中，DP=
1
2
AD，以及PA=AD•cos30°进而得出DM的长，利用HM=DM•tan30°得出即可．
解答：解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，
∴∠BEF最大为45°，
当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，
∴BF=EF=
1
2
BD=15，
DF=15
3
，
故：DE=DF-EF=15（
3
-1）≈11.0；

（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．
在Rt△DPA中，DP=
1
2
AD=
1
2
×30=15，
PA=AD•cos30°=
3
2
×30=15
3
．
在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15
3
+27，
在Rt△DMH中，
HM=DM•tan30°=
3
3
×（15
3
+27）=15+9
3
．
GH=HM+MG=15+15+9
3
≈45.6．
答：建筑物GH高约为45.6米．
点评：此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键．
练习册系列答案
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（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1-S2是常数；
（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．
（2012•苏州）如图，已知抛物线y=
1
4
x2-
1
4
（b+1）x+
b
4
（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为
（b，0）
（b，0）
，点C的坐标为
（0，
b
4
）
（0，
b
4
）
（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
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AB
=
BC
，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（　　）

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