题目内容

阅读以下内容：

(x－1)(x＋1)=x2－1，(x－1)(x2＋x＋1)=x3－1，(x－1)(x3＋x2＋x＋1)=x4－1，

根据上面的规律得(x－1)(xn－1＋xn－2＋xn－3＋…＋x＋1)=        （n为正整数）；

根据这一规律，计算：1＋2＋22＋23＋24+ …＋22010＋22011=             。

 

xn－1,22012－1

解析:：（x-1）（x+1）=x2-1，

（x-1）（x2+x+1）=x3-1，

（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，

…

规律为左边都有（x-1）和关于x的多项式，常数项和每项系数均为1；

右边多项式的次数比左边多项式的次数大1．

故（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+…+x+1）=xn-1（n为正整数）．

（2）根据规律：1+2+22+23+24+…+22010+22011=（22012-1）÷（2-1）=22012-1

 

练习册系列答案
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21、（1）阅读以下内容：（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，根据上面的规律，得（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+…+x+1）=
xn-1
（n为正整数）；
（2）根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…+22006+22007=
22008-1
．
23、（1）李刚同学在计算122和892时，借助计算器探究“两位数的平方”有否简捷的计算方法．他经过探索并用计算器验证，再用数学知识解释，得出“两位数的平方”可用“竖式计算法”进行计算，
如：122=144．其中第一行的“01”和“04”分别是十位数和个位数的平方，各占两个位置，其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”，再把它们并排排列；第二行的“04”为十位数与个位数积的2倍，占两个位置，其结果不够两位的就在“十位”位置上放上“0”，再把它们按上面的竖式相加就得到了122=144，
再如892=7921．其中第一行的“64”和“81”分别是十位数和个位数的平方，各占两个位置，再把它们并排排列；第二行的“144”为十位数与个位数积的2倍，再把它们按上面的竖式相加就得到了892=7921．
①请你用上述方法计算752和682（写出“竖式计算”过程）；
②请你用数学知识解释这种“两位数平方的竖式计算法”合理性．
（2）阅读以下内容：
（x-1）（x+1）=x2-1；
（x-1）（x2+x+1）=x3-1；
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；
①根据上面的规律，得（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+…+x+1）=
xn-l
（n为正整数）；
②根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…+22008+22009=
22010-l
（ n为正整数）．
阅读以下内容：（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，根据上面的规律得（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+…+x+1）=
xn-1
xn-1
（n为正整数）；根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…+22010+22011=
22012-1
22012-1
．
（1）阅读以下内容：
(x-1)(x+1)=x2-1
(x-1)(x2+x+1)=x3-1
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1
…

①根据以上规律，可得（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x+1）=
xn+1-1
xn+1-1
（n为正整数）；
②根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…22011+22012+22013=
22014-1
22014-1
．
（2）阅读下列材料，回答问题：
关于x的方程：x+
1
x
=a+
1
a
的解是x1=a，x2=
1
a
；x+
2
x
=a+
2
a
的解是x1=a，x2=
2
a
；x+
3
x
=a+
3
a
的解是x1=a，x2=
3
a
；
…
①请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程x+
m
x
=a+
m
a
(m≠0)的解；
②请你写出关于x的方程x+
2
x-3
=m+
2
m-3
的解．
阅读以下内容：
（x-1）（x+1）=x2-1
（x-1）（x2+x+1）=x3-1
（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1
根据上面的规律，得（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+…+x+1）=
xn-1
xn-1
．

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