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(2004•武汉)已知:二次函数y=ax2-(b-1)x-3a的图象经过点P(4,10),交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)两点(x1<x2),交y轴负半轴于C点,且满足3OA=OB.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO>∠ACO?若存在,请你求出M点的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由.
【答案】分析:(1)根据韦达定理和3OA=OB可得出一个关于a、b的等量关系式,将P点坐标代入抛物线中可得出另一个a、b的关系式,联立两个式子即可求出待定系数的值,也就得出了抛物线的解析式;
(2)如图,取A点关于y轴的对称点,那么∠A′CO=∠ACO,如果设直线A′C与抛物线的交点为N点话,那么如果使∠MCO>∠A′CO,那么必须满足的条件为M的横坐标在A的横坐标与N的横坐标之间,据此可求出M横坐标的取值范围(M的横坐标不能为0,否则构不成锐角∠MCO).
解答:解:(1)∵P(4,10)在图象上,
∴16a-4(b-1)-3a=10①;
∵图象交y轴负半轴于C,
∴-3a<0,
∴a>0,x1x2==-3<0,
∴x1<0,x2>0,x2=-3x1
x1+x2=x1+(-3x1)=-2x1=-,x1x2=-3x12=-3,
∴x12=1,又x1<0,
∴x1=-1,
∴x2=3,
∴b-1=2a②,
联立①②解得:a=2,b=5,
∴y=2x2-4x-6;

(2)存在点M,使∠MCO>∠ACO,A点关于y轴对称点A′(1,0),
设直线A′C为y=kx+b,由于直线A′C过(1,0),(0,-6),则有:

解得
∴y=6x-6,联立抛物线的解析式有:

解得
即直线A′C与抛物线交点为(0,-6),(5,24),
当y=-6时,即2x2-4x-6=-6,
解得:x1=0,x2=2,
∵∠MCO是锐角,
∴符合题意的x的取值范围是-1<x<0或2<x<5.
点评:本题主要考查了二次函数解析式的确定、韦达定理的应用、轴对称图形、函数图象交点等知识.
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