题目内容
考虑方程（x2-10x+a）2=b①（1）若a=24，求一个实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式．
（2）若a≥25，是否存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式？说明你的结论．
分析：（1）把方程变形为（x2-10x+a-
）（x2-10x+a+
）=0．当a=24，得到x2-10x+24-
=0或x2-10x+24+
=0；要恰有3个不同的实数x满足①式，则两个方程中一个判别式等于0，另外一个判别式大于0即可．
（2）由（1）得x2-10x+a-
=0或x2-10x+a+
=0，△1=4（25-a+
），△2=4（25-a-
），当a≥25，则△2≤0，若△2＜0，最多有两个不同的x满足①；若△2=0，有a=25，b=0，则△1=0，只有一个x满足①．
| b |
| b |
| b |
| b |
（2）由（1）得x2-10x+a-
| b |
| b |
| b |
| b |
解答：解：（1）把方程变形为（x2-10x+a-
）（x2-10x+a+
）=0．当a=24，
得到x2-10x+24-
=0或x2-10x+24+
=0；
△1=4（1+
）；△2=4（1-
），
要保证恰有3个不同的实数x满足①式，
则△1＞0，△2=0，所以有b=1．
（2）不存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式．理由如下：
由（1）得x2-10x+a-
=0或x2-10x+a+
=0，则△1=4（25-a+
），△2=4（25-a-
），
若a≥25，则有△2≤0，当△2＜0时，最多有两个不同的x满足①；当△2=0，有a=25，b=0，则△1=0，两个方程都有相同的等根5，所以只有一个x满足①．
| b |
| b |
得到x2-10x+24-
| b |
| b |
△1=4（1+
| b |
| b |
要保证恰有3个不同的实数x满足①式，
则△1＞0，△2=0，所以有b=1．
（2）不存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式．理由如下：
由（1）得x2-10x+a-
| b |
| b |
| b |
| b |
若a≥25，则有△2≤0，当△2＜0时，最多有两个不同的x满足①；当△2=0，有a=25，b=0，则△1=0，两个方程都有相同的等根5，所以只有一个x满足①．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．同时考查了化高次方程为一元二次方程的方法、二次根式的性质和不等式的性质．
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