Question

如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE=AH=BF=DG=x，设四边形EFGH的面积为S．
（1）求证：△BEF≌△DHG；
（2）已知∠B=60°，AB=2，当x变化时，S是变量还是常量？如果是变量，写出S与x的函数关系式，如果是常量，请说明理由，并求出S的值；
（3）已知EH=EF=5，FG=11，求AB的长及tanB的值．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的性质得出BE=DH，∠B=∠D，AB=AD=BC=CD，进而利用SAS得出△BEF≌△DHG；
（2）首先得出四边形ABFH是平行四边形，同理可得出：四边形HFCD也为平行四边形，则S=

1

2

（S_ABFH+S_HFCD）=

1

2

S_菱形求出即可；
（3）由图形的轴对称性且EH＜FG可知四边形EFGH为等腰梯形，利用EH=EF=5，FG=11，得出MG=3，利用勾股定理可得梯形的高HM=4，利用勾股定理求得AB的长，
，进而利用等边对等角得出∠B=∠1+∠2=∠4+∠5=∠EFG，即tanB=tan∠EFG求出即可．

解答：（1）证明：∵在菱形ABCD中，
∴∠B=∠D，AB=AD=BC=CD，
∵点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE=AH=BF=DG=x，
∴BE=DH，
在△BEF和△DHG中，

BE=DH ∠B=∠H BF=DG

，
∴△BEF≌△DHG（SAS）；

（2）解：是常量，
连HF，∵AH

∥

.

BF，
∴四边形ABFH是平行四边形，
同理可得出：四边形HFCD也为平行四边形，
∴S=

1

2

（S_ABFH+S_HFCD）=

1

2

S_菱形=

1

2

×2×

3

=

3

；

（3）解：过点H作HM⊥FG于点M，
由图形的轴对称性且EH＜FG可知四边形EFGH为等腰梯形，
∵EH=EF=5，FG=11，
∴MG=3，
利用勾股定理可得梯形的高HM=4，
∵AH

∥

.

BF，
∴四边形ABFH是平行四边形，
利用勾股定理求得AB=FH=

64+16

=4

5

，
∵AE=AH，AB∥FH，
∴∠1=∠2=∠3，
又∵EH=EF，EH∥FG，
∴∠3=∠4=∠5，
∴∠1=∠2=∠4=∠5，
∴∠B=∠1+∠2=∠4+∠5=∠EFG
∴tanB=tan∠EFG=

4

3

．

点评：此题主要考查了菱形的性质以及等腰梯形的性质和勾股定理以及平行四边形的性质等知识，利用图象得出对应角之间的关系是解题关键．