题目内容
【题目】某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为:P=,日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函数关系如图所示:
(1)求日销售量y与时间t的函数关系式?
(2)哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少?
(3)在实际销售的前40天中,该养殖户决定每销售1千克小龙虾,就捐赠m(m<7)元给村里的特困户.在这前40天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求m的取值范围.
【答案】(1) y=﹣2t+200(1≤x≤80,t为整数);(2) 第30天的日销售利润最大,最大利润为2450元;(3) 5≤m<7.
【解析】分析:(1)根据函数图象,利用待定系数法求解可得;
(2)设日销售利润为w,分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况,根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式,由二次函数的性质分别求得最值即可判断;
(3)依据(2)中相等关系列出函数解析式,确定其对称轴,由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大,结合二次函数的性质可得答案.
详解:(1)设解析式为y=kt+b,将(1,198)、(80,40)代入,得:
,
解得:.
∴y=﹣2t+200(1≤x≤80,t为整数);
(2)设日销售利润为w,则w=(p﹣6)y,
①当1≤t≤40时,
w=(t+16﹣6)(﹣2t+200)=﹣
(t﹣30)2+2450.
∴当t=30时,w最大=2450.
②当41≤t≤80时,
w=(﹣t+46﹣6)(﹣2t+200)=(t﹣90)2﹣100.
∴当t=41时,w最大=2301.
∵2450>2301,
∴第30天的日销售利润最大,最大利润为2450元.
(3)设日销售利润为w,根据题意,得:
w=(t+16﹣6﹣m)(﹣2t+200)=﹣
t2+(30+2m)t+2000﹣200m.
其函数图象的对称轴为t=2m+30.
∵w随t的增大而增大,且1≤t≤40,
∴由二次函数的图象及其性质可知:40≤2m+30.
解得:m≥5.
又m<7,
∴5≤m<7.
