题目内容
【题目】如图,抛物线y=+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,△CBF的面积最大?求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标.
【答案】(1)y=+x+2;(2)存在.P(,4)或(,)或(,);(3) 当E运动到BC的中点时,△EBC面积最大,△EBC最大面积是4,此时E(2,1).
【解析】
试题分析:(1)把A(﹣1,0),C(0,2)代入y=+bx+c列方程组即可;
(2)先求出CD的长,分两种情形①当CP=CD时,②当DC=DP时分别求解即可;
(3)求出直线BC的解析式,设E(m,),则F(m,),构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题.
试题解析:(1)把A(﹣1,0),C(0,2)代入y=+bx+c得,
解得b=,c=2,
∴抛物线的解析式为y=+x+2;
(2)存在.如图1中,∵C(0,2),D(,0),
∴OC=2,OD=,CD==,
①当CP=CD时,可得(,4),
②当DC=DP时,可得(,),(,),
综上所述,满足条件的P点的坐标为(,4)或(,)或(,);
(3)如图2中,
对于抛物线y=+x+2,当y=0时,+x+2=0,解得=4,=﹣1,
∴B(4,0),A(﹣1,0),
由B(4,0),C(0,2)得直线BC的解析式为y=x+2,
设E(m,),则F(m,),
EF=()﹣()==,
∴<0,∴当m=2时,EF有最大值2,
此时E是BC中点,
∴当E运动到BC的中点时,△EBC面积最大,
∴△EBC最大面积=×4×EF=×4×2=4,此时E(2,1).