题目内容

【题目】如图,抛物线y=+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;

(3)点E线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,CBF的面积最大?求出CBF的最大面积及此时E点的坐标.

【答案】(1)y=+x+2;(2)存在.P(,4)或()或(;(3) 当E运动到BC的中点时,EBC面积最大,EBC最大面积4,此时E(2,1).

【解析】

试题分析:(1)把A(﹣1,0),C(0,2)代入y=+bx+c列方程组即可

(2)先求出CD的长,分两种情形当CP=CD时,当DC=DP时分别求解即可

(3)求出直线BC的解析式,设E(m,),则F(m,),构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题.

试题解析:(1)把A(﹣1,0),C(0,2)代入y=+bx+c得

解得b=,c=2,

抛物线的解析式为y=+x+2

(2)存在.如图1中,C(0,2),D(,0),

OC=2,OD=,CD==

当CP=CD时,可得,4)

当DC=DP时,可得),

综上所述,满足条件的P点的坐标为,4)

(3)如图2中,

对于抛物线y=+x+2,当y=0时,+x+2=0,解得=4,=﹣1

B(4,0),A(﹣1,0),

由B(4,0),C(0,2)得直线BC的解析式为y=x+2,

设E(m,),则F(m,)

EF=()()==

0,当m=2时,EF有最大值2,

此时E是BC中点,

当E运动到BC的中点时,EBC面积最大,

∴△EBC最大面积=×4×EF=×4×2=4,此时E(2,1).

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