Question

在坐标平面内，半径为R的⊙O与x轴交于点D（1，0）、E（5，0），与y轴的正半轴相切于点B．点A、B关于x轴对称，点P（a，0）在x的正半轴上运动，作直线AP，作EH⊥AP于H．
（1）求圆心C的坐标及半径R的值；
（2）△POA和△PHE随点P的运动而变化，若它们全等，求a的值；若给定a=6，试判定直线AP与⊙C的位置关系（要求说明理由）．

Answer 1

分析：（1）由题意知圆心C点的横坐标为DE中点的坐标，纵坐标和B点纵坐标相等，用切割线定理求出OB的长即可，C点的横坐标等于半径；
（2）因为△POA≌△PHE，OE的长为直角边和斜边的和，而OE的长已求，用OP表示PE，并且OA=OB．
根据勾股定理求出OP的长即为a的值，过A作圆的切线为标准证明AP与⊙C的关系．

解答：解：（1）连接BC，则BC⊥y轴．
取DE中点M，连CM，则CM⊥x轴．
∵OD=1，OE=5，
∴OM=3．
∵OB²=OD•OE=5，
∴OB=

5

．
∴圆心C(3，

5

)，半径R=3．

（2）∵△POA≌△PHE，
∴PA=PE．
∵OA=OB=

5

，OE=5，OP=a，
∴PA²=a²+5，
PE²=（5-a）²，
∴a²+5=（a-5）²，
a=2．

（3）解法一：
过点A作⊙C的切线AT（T为切点），交x轴正半轴于Q．
设Q（m，0），则QE=m-5，QD=m-1，
QT=QA-AT=QA-AB=

m2+5

-2

5

．
由QT²=QE•QD，
得(

m2+5

-2

5

)2=（m-5）（m-1），
2

5(m2+5)

=3m+10，
11m²-60m=0．
∵m＞0，
∴m=

60

11

．
∵a=6，点P（6，0），在点Q(

60

11

，0)的右侧，
∴直线AP与⊙C相离．

解法二：
设射线AP、BC交于点F，作CT⊥AF于T．
∵△AOP∽△CTF，
∴

CT

CF

=

AO

AP

．
而AO=

5

，AP=

41

，
CF=BF-BC=12-3=9，
∴

CT

9

=

5

41

，
CT=

9 5

41

＞

9 5

45

=3=R，
∴直线AP与⊙C相离．

点评：考查了直线与圆的位置关系；能够根据全等，相似三角形，勾股定理求线段等多个知识点．