Question

已知关于x的一元二次方程

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x2+(m-2)x+2m-6=0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程都有两个实数根；
（2）当m＜3时，关于x的二次函数y=

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x2+(m-2)x+2m-6的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线y=

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x+b与图象G只有一个公共点时，b的取值范围．

Answer 1

（1）根据题意，得
△=（m-2）²-4×

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×（2m-6）
=（m-4）²，
∵无论m为任何数时，都有（m-4）²≥0，即△≥0．
∴无论m取任何实数，方程都有两个实数根；
（2）由题意，得
当y=0时，则

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x2+(m-2)x+2m-6=0，
解得：x₁=6-2m，x₂=-2，
∵m＜3，点A在点B的左侧，
∴A（-2，0），B（-2m+6，0），
∴OA=2，OB=-2m+6．
当x=0时，y=2m-6，
∴C（0，2m-6），
∴OC=-（2m-6）=-2m+6．
∵2AB=3OC，
∴2（2-2m+6）=3（-2m+6），
解得：m=1；
（3）如图，当m=1时，抛物线的解析式为y=

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x²-x-4，
点C的坐标为（0，-4）．
当直线y=

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x+b经过点C时，可得b=-4，
当直线y=

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x+b（b＜-4）与函数y=

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x²-x-4（x＞0）的图象只有一个公共点时，得

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x+b═

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x²-x-4．
整理得：3x²-8x-6b-24=0，
∴△=（-8）²-4×3×（-6b-24）=0，
解得：b=-

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结合图象可知，符合题意的b的取值范围为b＞-4或b＜-

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