Question

如图14-1，在锐角△ABC中，AB = 5，AC =，∠ACB = 45°．
计算：求BC的长；
操作：将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A₁BC₁．如图14-2,当点C₁在线段CA的延长线上时．
（1）证明：A₁C₁⊥CC₁；
（2）求四边形A₁BCC₁的面积；

探究：
将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A₁BC₁．连结AA₁,CC₁，如图14-3．若△ABA₁的面积为5,求点C到BC₁的距离；
拓展：
将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A₁BC₁．点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P₁,如图14-4．
（1）若点P是线段AC的中点，求线段EP₁长度的最大值与最小值；
（2）若点P是线段AC上的任一点,直接写出线段EP₁长度的最大值与最小值．

Answer 1

(1)7.(2)证明见解析；；（3）；（4）+，-；，-．

试题分析：过点A做AG⊥BC于G，通过解直角三角形得BG和CG的长，从而可求出BC的长；
由旋转易证∠CC₁A₁ =∠CC₁B+∠A₁C₁B =45°＋45°=90°，故A₁C₁⊥CC₁；四边形A₁BCC₁的面积=△CC₁B的面积+△A₁C₁B的面积=；由△∽△C₁BC易求点C到BC₁的距离为.
计算：
解：过点A做AG⊥BC于G，

∵∠ACB = 45°
∴∠GAC = 45°
∴AG=CG
∴在Rt△AGC中， AG="CG" ==4
∴在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG=3
∴BC=BG+CG=4+3=7．
操作：
（1）证明：由旋转的性质可得∠A₁C₁B =∠ACB =45°，BC=BC₁ 
∴∠CC₁B =∠C₁CB =45° 
∴∠CC₁A₁ =∠CC₁B+∠A₁C₁B =45°＋45°=90°
∴A₁C₁⊥CC₁ 
（2）四边形A₁BCC₁的面积=△C C₁B的面积+ △A₁C₁B的面积=×7×7+×7×4=．
探究：
解：设△中A₁B边为的高为m；△C₁CB中BC₁边为的高为n．
∵×5m=5
∴m=2
∵∠ABC=∠A₁B C₁
∴∠ C₁BC=∠A₁BA
∵
∴△∽△C₁BC
∴==
∴n=
∴点C到BC₁的距离.
拓展：
（1）过点P做PH⊥BC，得到：PH=CH=2，

∴BH=BC－CH=7－2=5．
在Rt△BHP中，根据勾股定理得：BP==．
①△ABC绕点B旋转，点P的对应点P₁在线段BA的延长线上时，
EP₁最小，最小值为B P₁－BE=BP－BE=－；
②△ABC绕点B旋转，点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时,
EP₁最大，最大值为BP₁+ BE =BP+ BE =+．
（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足,

∵△ABC为锐角三角形
∴点D在线段AC上
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=．
①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，
点P的对应点P₁在线段AB上时，
EP₁最小，最小值为-
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，
点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，
EP₁最大，最大值为+7= ．