Question

课本中把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请解决下列问题：

（1）将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．

（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB＜BC)进行如下操作：

  第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE(如图2甲)；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG(如图2乙) ．

此时E点恰好落在AE边上的点M处；

第三步：沿直线DM折叠(如图2丙)，此时点G恰好与N点重合．

请你研究，矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．

（3）不难发现，将一张标准纸如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB_＝1，BC_＝，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2002次对开后所得标准纸的周长．

Answer 1

（1）是标准纸．理由如下：

  ∵矩形ABCD是标准纸，∴

    由对开的含义知：AF＝                             

    ∴

      ∴矩形纸片ABEF也是标准纸．   ------2’                          

（2）是标准纸．理由如下：设AB＝CD＝a

       由图形折叠可知：DN＝CD＝DG＝a                         

            DG⊥EM

        ∵由图形折叠可知：△ABE≌△AFE

        ∴∠DAE＝∠BAD＝45°

∴△ADG是等腰直角三角形                                

∴在Rt△ADG中，AD＝                  

∴

∴矩形纸片ABCD是一张标准纸      ------6’                       

（3）第2012次对开后所得的标准纸的周长为：      -----8’