题目内容

若A（x₁，y₀），B（x₂，y₀）是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的两点，证明直线 $数学公式$ 为此抛物线的对称轴．
有一种方法证明如下：
①②
证明：∵A（x₁，y₀），B（x₂，y₀）是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的两点
∴ $数学公式$ 且 x₁≠x₂．
①-②得 a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=0．
∴（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0．
∴ $数学公式$
又∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为 $数学公式$ ，
∴直线 $数学公式$ 为此抛物线的对称轴．
（1）反之，如果M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的两点，直线 $数学公式$ 为该抛物线的对称轴，那么自变量取x₁，x₂时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数y=x²+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，求x=2012时的函数值．

解：（1）结论：自变量取x₁，x₂时函数值相等．
证明：∵M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y=ax²+bx+c上不同的两点，
由题意得 $\text{[math]}$ 且x₁≠x₂
①-②，得y₁-y₂=a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]．
∵直线 $\text{[math]}$ 是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴y₁-y₂=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，即y₁=y₂；

（2）∵二次函数y=x²+bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等，
∴由阅读材料可知二次函数y=x²+bx-1的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，b=-2011．
∴二次函数的解析式为y=x²-2011x-1．
∵ $\text{[math]}$ ，
由（1）知，当x=2012的函数值与x=-1时的函数值相等．
∵当x=-1时的函数值为（-1）²-2011×（-1）-1=2011，
∴当x=2012时的函数值为2011．
分析：（1）由题意得出 $\text{[math]}$ 且x₁≠x₂，再由直线的对称轴得出结论：自变量取x₁，x₂时函数值相等．
（2）由题意求得b，得出二次函数的解析式为y=x²-2011x-1．再由（1）得，当x=2012时的函数值为2011．
点评：本题是一道阅读题，考查了二次函数的性质和图象上点的特点，综合性较强，难度较大．