Question

（2012•舟山）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x²上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．
（1）如图1，当m=

2

时，
①求线段OP的长和tan∠POM的值；
②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．
①用含m的代数式表示点Q的坐标；
②求证：四边形ODME是矩形．

Answer 1

分析：（1）①已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标；由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论．
②题干要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO、CQ=CO三种情况来判断：
QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定；
QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定；
CQ=CO时，OQ为底，不合题意．
（2）①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标；
②在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证．

解答：解：（1）①∵把x=

2

代入 y=x²，得 y=2，
∴P（

2

，2），
∴OP=

6

∵PA丄x轴，
∴PA∥MO．
∴tan∠P0M=tan∠0PA=

OA

PA

=

2

2

．
②设 Q（n，n²），
∵tan∠QOB=tan∠POM，
∴

n2

-n

=

2

2

．
∴n=-

2

2

∴Q（-

2

2

，

1

2

），
∴OQ=

3

2

．
当OQ=OC时，则C₁（0，

3

2

），C₂（0，-

3

2

）；
当OQ=CQ时，则C₃（0，1）；
当CQ=CO时，OQ为底，不合题意．
综上所述，当△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形时，所求点C坐标为：C₁（0，

3

2

），C₂（0，-

3

2

），C₃（0，1）；

（2）①设 Q（n，n²），
∵△APO∽△BOQ，
∴

BQ

AO

=

BO

AP

∴

n2

m

=

-n

m2

，得n=-

1

m

，
∴Q（-

1

m

，

1

m2

）．
②设直线PQ的解析式为：y=kx+b，把P（m，m²）、Q（-

1

m

，

1

m2

）代入，得：

m2= mk+b① 1 m2 =- 1 m k+b ②

，
①-②得：m²-

1

m2

=（m+

1

m

）k，
解得：k=m-

1

m

③，
把③代入①，得：b=1，
∴M（0，1）
∵

QB

MO

=

OB

AO

=

1

m2

，∠QBO=∠MOA=90°，
∴△QBO∽△MOA
∴∠MAO=∠QOB，
∴QO∥MA
同理可证：EM∥OD
又∵∠EOD=90°，
∴四边形ODME是矩形．

点评：考查了二次函数综合题，该题涉及的知识点较多，有：解直角三角形、相似三角形、等腰直角三角形的判定、矩形的判定等重要知识点；（1）②题中，要注意分类进行讨论，以免出现漏解、错解的情况．