Question

在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图1所示：
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
又∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∴∠AOC=2∠ABO
即∠ABC=

1

2

∠AOC
如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图2、3，那么结论会怎样？请你说明理由．

Answer 1

分析：连接BO并延长交圆O于点D，利用图1和结论求证．

解答：解：如果∠ABC的两边都不经过圆心，结论∠ABC=

1

2

∠AOC仍然成立．
证明：∠ABC的两边都不经过圆心，对图2的情况，
连接BO并延长交圆O于点D，

由图1知：∠ABD=

1

2

∠AOD，∠CBD=

1

2

∠COD
∴∠ABD+∠CBD=

1

2

∠AOD+

1

2

∠COD
∴∠ABC=

1

2

∠AOC
∠ABC的两边都不经过圆心，对图3的情况，连接BO并延长交圆O于点D
由图1知：∠ABD=

1

2

∠AOD，∠CBD=

1

2

∠COD
∴∠ABD-∠CBD=

1

2

∠AOD-

1

2

∠COD
∴∠ABC=

1

2

∠AOC．

点评：本题是圆周角定理的证明．在证明过程中要注意前后两个题目之间的联系，注意题目之间的转化．