题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A(4,0)、B(-1,0),与y轴交于点C,D为抛物线的顶点,过A、B、C 作⊙P.

(1)求b、c的值;

(2)求证:线段AB是⊙P的直径;

(3)连接AC,AD,在坐标平面内是否存在点Q,使得△CDA~△CPQ,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由。

【答案】(1) ;(2)证明见解析;(3)Q1(-,-),Q2).

【解析】

试题分析:(1)用待定系数法求出抛物线的系数b,c;

(2)先求出点C(0,2),再根据A(4,0)、B(-1,0),求出AC2,BC2,AB2,用勾股定理逆定理说明ABC是直角三角形即可;

(3)先求出线段AC,AD,CD,CP,根据三角形相似得到比例式,再设出点Q的坐标建立方程求解.

试题解析:(1)抛物线y=-x2+bx+c经过点A(4,0)、B(-1,0),

(2)由(1)可知抛物线的解析式为:y=-x2+x+2,C(0,2),

A(4,0)、B(-1,0),

BC2=OB2+OC2=1+4=5,AC2=OA2+OC2=16+4=20,AB2=25,

BC2+AC2=AB2

∴∠ACB=90°

线段AB是P的直径;

(3)由(1)可知抛物线的解析式为:y=-x2+x+2,

D(),

A(4,0),C(0,2),

AC=2,AD=,CD=

P(,0),

CP=

∵△CDA∽△CPQ,

PQ=,CQ=

设点Q(m,n),

PQ==

CQ==

Q1(-,-),Q2).

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