题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A(4,0)、B(-1,0),与y轴交于点C,D为抛物线的顶点,过A、B、C 作⊙P.
(1)求b、c的值;
(2)求证:线段AB是⊙P的直径;
(3)连接AC,AD,在坐标平面内是否存在点Q,使得△CDA~△CPQ,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由。
【答案】(1) ;(2)证明见解析;(3)Q1(-,-),Q2(,).
【解析】
试题分析:(1)用待定系数法求出抛物线的系数b,c;
(2)先求出点C(0,2),再根据A(4,0)、B(-1,0),求出AC2,BC2,AB2,用勾股定理逆定理说明△ABC是直角三角形即可;
(3)先求出线段AC,AD,CD,CP,根据三角形相似得到比例式,再设出点Q的坐标建立方程求解.
试题解析:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(4,0)、B(-1,0),
∴,
∴
(2)由(1)可知抛物线的解析式为:y=-x2+x+2,C(0,2),
∵A(4,0)、B(-1,0),
∴BC2=OB2+OC2=1+4=5,AC2=OA2+OC2=16+4=20,AB2=25,
∴BC2+AC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∴线段AB是⊙P的直径;
(3)由(1)可知抛物线的解析式为:y=-x2+x+2,
∴D(,),
∵A(4,0),C(0,2),
∴AC=2,AD=,CD=,
∵P(,0),
∴CP=,
∵△CDA∽△CPQ,
∴
∴,
∴PQ=,CQ=,
设点Q(m,n),
∴PQ==,
CQ==,
∴或,
∴Q1(-,-),Q2(,).
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