Question

如图I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E(1)BE与IE相等吗？为什么？(2)试说明IE是AE和DE的比例中项

Answer 1

(1)BE=IE，理由见解析(2)证明见解析

①BE=IE  （1分）
连接BI
∵I为△ABC内心
∴∠1=∠2
∠3=∠5
∵∠3=∠4  ∴∠4=∠5
∵∠BIE=∠2+∠5
∠EBI=∠1+∠4
∴∠BIE=∠EBI
∴BE=IE   （6分）
②∵∠BED=∠AEB
∠4=∠5
∴△BED∽△AEB
∴ 即 BE²=AE·ED
由①知BE=IE
∴IE²=AE·ED
∴IE是AE和DE的比例中项 （10分）
（1）利用内心的性质得出∠1=∠2，∠3=∠5，再利用外角性质得出∠BIE=∠EBI，进而求出即可；
（2）利用相似三角形的性质与判定得出△BED∽△AEB，进而求出BE2=AE•ED，即可得出答案．