Question

已知抛物线①经过点A（-1，0）、B（4，5）、C（0，-3），其对称轴与直线BC交于点P．
（1）求抛物线①的表达式及点P的坐标；
（2）将抛物线①向右平移1个单位后再作上下平移，得到的抛物线②恰好过点P，求上下平移的方向和距离；
（3）设抛物线②的顶点为D，与y轴的交点为E，试求∠EDP的正弦值．

Answer 1

解：（1）据题意设抛物线的表达式为y=ax²+bx-3，
则，
解得，
∴抛物线的表达式为y=x²-2x-3，
∴对称轴为直线x=1，
据题意设直线BC的解析式为y=kx-3，则5=4k-3，k=2，
∴直线BC的解析式为y=2x-3，
∴P（1，-1）；

（2）设抛物线①向右平移1个单位后再向上平移m个单位得抛物线②，
则抛物线②的表达式为y=（x-1-1）²-4+m，
∵抛物线②过点P，
∴-1=（1-1-1）²-4+m，
∴m=2，
∴再将它向上移动2个单位可得到抛物线②；

（3）∵抛物线①向右移动1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线②，
∴抛物线②的表达式是y=（x-1-1）²-4+2，即y=（x-2）²-2，
∴D（2，-2），E（0，2），
∵P（1，-1），
∴直线DP过点O，且与x轴夹角为45°，
过点E作EH⊥DP于点H，
∴∠EOH=45°，
∵E（0，2），
∴EH=，而ED==2，
∴sin∠EDP==．
分析：（1）根据题意设抛物线的表达式为y=ax²+bx-3，将A、B两点的坐标代入求得a、b的值，进而求得抛物线的对称轴．根据B、C两点的坐标求得直线BC的解析式．对称轴与直线BC交于点P，因而P的坐标即可确定．
（2）设抛物线①向右平移1个单位后再向上平移m个单位得抛物线②，根据抛物线①的顶点式解析式，写出抛物线②的顶点式解析式．再将（1）中得到的P点坐标值代入，即可求得m的值，那么抛物线②上下平移的方向和距离也就得知．
（3）首先根据（2）写出抛物线②的解析式，D点的坐标也就确定．因为E点是抛物线②与y轴的交点，那么可求得P点的坐标值．首先根据D、P点的坐标，可得到直线DP与x轴夹角．再利用角间的关系及三角函数，得到结果．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线的平移等知识点，综合性强，考查学生利用抛物线的顶点式解决平移，以及数形结合的数学思想方法．