Question

如果（x²-2x+m）（x-1）=0方程的三根，可作为一个三角形的三边长，则m的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：方程（x²-2x+m）（x-1）=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x²-2x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x²-2x+m=0的两个根设是x₂和x₃，一定是两个正数，且一定有|x₂-x₃|＜1＜x₂+x₃，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
解答：∵方程（x²-2x+m）（x-1）=0的有三根，
∴x₁=1，x²-2x+m=0有两根，
∴方程x²-2x+m=0的△=4-4m≥0，得m≤1．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有x₂+x₃＞x₁=1，|x₂-x₃|＜x₁=1，而x₂+x₃=2＞1已成立；
当|x₂-x₃|＜1时，两边平方得：（x₂+x₃）²-4x₂•x₃＜1．
即：4-4m＜1．解得，m＞．
∴．
故选B．
点评：本题利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．