题目内容

香蕉味香、富于营养，常食香蕉不仅有益于大脑，预防神经疲劳，还有润肺止咳、防止便秘的作用．今年三月份从3月1日起，“欣欣”香蕉批发店日销售量y₁（箱）与时间第x（天）的函数关系如下表：
第x（天） 1 2 3 4 …
日销售量y₁（箱） 22 24 26 28 …
三月份香蕉的销售价格p₁（元/千克）与时间第x（天）的函数关系为：p₁=-0.1x+7 （1≤x≤31，且x取整数）；由于气候变化，四月份该店日销售量y₁（箱）与时间第x（天）的函数关系如图所示，销售的价格p₂（元/千克）与时间第x（天）的函数关系为：p₂=0.1x+0.9（32≤x≤61，且x取整数）．已知该店销售的每箱香蕉重25千克，每千克香蕉的成本为2元．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出三月份日销售量y₁（元）与时间第x（天）之间的函数关系式；观察右图，直接写出四月份日销售量y₂（元）与时间第x（天）之间的一次函数关系式；
（2）请问第几天香蕉日销售利润W最大，最大日销售利润是多少元？
（3）进入五月，由于南海局势持续紧张，中国加强了对菲律宾香蕉进口的审查，市场上来自菲律宾的香蕉锐减，受此影响，与4月10日发生“黄岩岛事件”那天相比，5月10日该店的销售量下降了4a%，每千克售价提高了a%，成本增加了50%，5月10日的销售利润为3200元．请参考以下数据，计算出a的值（结果精确到0.1）．
（参考数据： $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ）

解：（1）y₁=2x+20（1≤x≤31），
y₂=-x+121（32≤x≤61），

（2）当1≤x≤31时，w=（p₁-2）•25y₁=25（-0.1x+5）（2x+20）=-5（x-20）²+4500．
故当x=20时，w最大=4500．
当32≤x≤61时，w=（p₂-2）•25y₂=25（0.1x-1.1）（-x+121）=-2.5（x-66）²+7562.5．
又∵当x≤61时，w随x增大而增大，
∴当x=61时，w最大=7500．
又∵4500＜7500，
∴当x=61时，w最大=7500．
答：第61天香蕉日销售利润W最大，最大日销售利润是7500元．

（3）当x=41时，y₂=80，p₂=5，则
[5（1+a%）-2（1+50%）]•80（1-40%）×25=3200，
令a%=t，则100t²+15t-2=0，
解得t= $\text{[math]}$ ≈ $\text{[math]}$ ，
又∵t＞0，
∴t≈0.085，
∴a≈8.5．
故a的值为8.5．
分析：（1）待定系数法将（1，22），（2，24）代入y₁=k₁x+b₁，即可求得三月份日销售量y₁（元）与时间第x（天）之间的函数关系式；待定系数法将（41，80），（51，70）代入y₂=k₂x+b₂，即可求得四月份日销售量y₂（元）与时间第x（天）之间的一次函数关系式；
（2）首先分当1≤x≤31时，当32≤x≤61时两种情况表示出日销售利润，进而利用函数增减性求出最大利润；
（3）首先利用当x=41时，根据5月10日的销售利润为3200元，得出关于a的方程，进而求出a的值即可．
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的应用，涉及的知识点有待定系数法求函数解析式，以及根据已知得出利润与销量之间的函数关系式．