Question

15、证明：
（1）若n为整数，则（2n+1）²-（2n-1）²一定是8的倍数；
（2）若n为正整数时，n³-n的值必是6的倍数；
（3）四个连续自然数的积加1必为一完全平方数．

Answer 1

分析：（1）运用完全平方式展开后合并，可得含有8的式子，从而可得出结论；
（2）先将式子因式分解，然后讨论三因式的奇偶性，从而可证得结论；
（3）先设出这四个自然数，先后表示出它们的积和1的和，从而化简配方即可得出结论．

解答：证明：（1）∵（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n
∵n为整数，∴8|8n．
即8|（2n+1）²-（2n-1）²命题得证；
（2）n³-n=n（n²-1）=（n-1）n（n+1）
∵n为正整数，（n+1）和n是连续2个自然数，必定一奇一偶，
所以，2|n（n+1）；而（n-1），n，（n+1）是连续3个整数，
必有一个是3的倍数，所以3|（n-1）n（n+1），
即6|（n-1）n（n+1）．命题得证．
（3）设这四个连续自然数依次为n-2，n-1，n，n+1，
其中n＞2且n为自然数，则依题意：
（n-2）（n-2）n（n+1）+1
=（n-2）（n+1）（n-1）n+1
=（n²-n-2）（n²-n）+1
=（n²-n）²-2（n²-n）+1
=（n²-n-1）²，
因为n为自然数，所以n²-n-1必为整数，即命题得证．

点评：本题考查数的整除性问题，比较经典，注意掌握证明整除的一般方法，即想办法得到含有此因式的式子．