题目内容
(2004•广安)如图,⊙O中,BC为直径,AH⊥BC,垂足为D,过B作弦BF,交AD于E,交⊙O于F,且AE=BE.
(1)求证:AB=AF;
(2)若BE•EF=32,AD=6,证明:AF∥BC.
(1)求证:AB=AF;
(2)若BE•EF=32,AD=6,证明:AF∥BC.
分析:(1)由AE=BE,易证得
=
,又由AH⊥BC,由垂径定理即可求得
=
,继而可得
=
,则可证得AB=AF;
(2)由相交弦定理,可求得AE的长,继而可得∠DBE=30°,又由三角形内角和定理,可求得∠AFB=∠DBE,继而证得AF∥BC.
BH |
AF |
AB |
BH |
AB |
AF |
(2)由相交弦定理,可求得AE的长,继而可得∠DBE=30°,又由三角形内角和定理,可求得∠AFB=∠DBE,继而证得AF∥BC.
解答:证明:(1)∵AE=BE,
∴∠BAH=∠ABF,
∴
=
,
∵AH⊥BC,
∴
=
,
∴
=
,
∴AB=AF;
(2)∵BE•EF=AE•HE,
∴AE•(12-AE)=32,
解得:AE=8或AE=4,
由题意得:AE=4,
∴DE=AD-AE=6-4=2,
在Rt△BDE中,BE=4=2DE,
∴∠DBE=30°,
∵∠DAB=∠EBA,且∠DAB+∠ABE+∠DBE=90°,
∴∠ABE=30°,
∵∠AFB=∠ABF,
∴∠AFB=∠DBE,
∴AF∥BC.
∴∠BAH=∠ABF,
∴
BH |
AF |
∵AH⊥BC,
∴
AB |
BH |
∴
AB |
AF |
∴AB=AF;
(2)∵BE•EF=AE•HE,
∴AE•(12-AE)=32,
解得:AE=8或AE=4,
由题意得:AE=4,
∴DE=AD-AE=6-4=2,
在Rt△BDE中,BE=4=2DE,
∴∠DBE=30°,
∵∠DAB=∠EBA,且∠DAB+∠ABE+∠DBE=90°,
∴∠ABE=30°,
∵∠AFB=∠ABF,
∴∠AFB=∠DBE,
∴AF∥BC.
点评:此题考查了圆周角定理、垂径定理、相交弦定理、圆心角、弧、弦的关系以及含30°的直角三角形的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
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