题目内容
【题目】如图,E、F是ABCD对角线AC上两点,且AE=CF.
(1)求证:四边形BFDE是平行四边形.
(2)如果把条件AE=CF改为BE⊥AC,DF⊥AC,试问四边形BFDE是平行四边形吗?为什么?
(3)如果把条件AE=CF改为BE=DF,试问四边形BFDE还是平行四边形吗?为什么?
【答案】
(1)证明:证法一:∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD 且AB∥CD(平行四边形的对边平行且相等)
∴∠BAE=∠DCF
又∵AE=CF
∴△BAE≌△DCF(SAS)
∴BE=DF,∠AEB=∠CFD
∴∠BEF=180°﹣∠AEB∠DFE=180°﹣∠CFD
即:∠BEF=∠DFE
∴BE∥DF,而BE=DF
∴四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
证法二:连接BD,交AC于点O.
∵ABCD是平行四边形
∴OA=OC OB=OD(平行四边形的对角线互相平分)
又∵AE=CF
∴OA﹣AE=OC﹣CF,即OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
(2)解:四边形BFDE是平行四边形
∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD 且AB∥CD(平行四边形的对边平行且相等)
∴∠BAE=∠DCF
∵BE⊥AC,DF⊥AC
∴∠BEA=∠DFC=90°,BE∥DF
∴△BAE≌△DCF(AAS)
∴BE=DF
∴四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
(3)解:四边形BFDE不是平行四边形
因为把条件AE=CF改为BE=DF后,不能证明△BAE与△DCF全等
【解析】(1)方法一:证明△BAE≌△DCF,推出BE=DF,BE∥DF即可.方法二:连接BD,交AC于点O.只要证明OE=OF,OB=OD即可;(2)是平行四边形.只要证明△BAE≌△DCF即可解决问题;(3)四边形BFDE不是平行四边形.因为把条件AE=CF改为BE=DF后,不能证明△BAE与△DCF全等;
【考点精析】根据题目的已知条件,利用平行四边形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积.
