Question

28、如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D．
（1）如图①，当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时，证明：PC=PD．
（2）如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明理由．
（3）如图③，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时，线段PC和PD相等吗？直接写出你的结论，不需证明．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等直接回答；
（2）过P作OA、OB的垂线，构造图①的图形，利用（1）的结论证明PC、PD所在的三角形全等；
（3）仿（2）的证明可得PC=PD．

解答：
（1）证明：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，
∴PC=PD．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
（2）PC=PD．
过P点作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．
由（1）得 PM=PN．
∵∠AOB=120°，
∴∠MPN=360°-90°-90°=60°．
∴∠MPC=∠NPD=60°-∠CPN．
∴△PMC≌△PND．（ASA）
∴PC=PD．
（3）PC=PD．

点评：此题考查全等三角形的判定和性质，由易到难层层递进，把握解题思路是关键．