题目内容

(2012•黑河)如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根(OA<OB),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.
(1)求A、B两点的坐标.
(2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似,并直接写出此时点Q的坐标.
(3)当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)解一元二次方程,求出OA、OB的长度,从而得到A、B点的坐标;
(2)△APQ与△AOB相似时,存在两种情况,需要分类讨论,不要遗漏,如图(2)所示;
(3)本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质,如图(3)所示.在求M1,M2坐标时,注意到M1,M2与Q点坐标的对应关系,则容易求解;在求M3坐标时,可以利用全等三角形,得到线段之间关系.
解答:解:(1)解方程x2-7x+12=0,得x1=3,x2=4,
∵OA<OB,∴OA=3,OB=4.
∴A(0,3),B(4,0).

(2)在Rt△AOB中,OA=3,OB=4,∴AB=5,∴AP=t,QB=2t,AQ=5-2t.
△APQ与△AOB相似,可能有两种情况:
(I)△APQ∽△AOB,如图(2)a所示.
则有
AP
AO
=
AQ
AB
,即
t
3
=
5-2t
5
,解得t=
15
11

此时OP=OA-AP=
18
11
,PQ=AP•tanA=
20
11
,∴Q(
20
11
18
11
);
(II)△APQ∽△ABO,如图(2)b所示.
则有
AP
AB
=
AQ
AO
,即
t
5
=
5-2t
3
,解得t=
25
13

此时AQ=
15
13
,AH=AQ•cosA=
9
13
,HQ=AQ•sinA=
12
13
,OH=OA-AH=
30
13
,∴Q(
12
13
30
13
).
综上所述,当t=
15
11
秒或t=
25
13
秒时,△APQ与△AOB相似,所对应的Q点坐标分别为(
20
11
18
11
)或(
12
13
30
13
).

(3)结论:存在.如图(3)所示.
∵t=2,∴AP=2,AQ=1,OP=1.
过Q点作QE⊥y轴于点E,则QE=AQ•sin∠QAP=
4
5
,AE=AQ•cos∠QAP=
3
5

∴OE=OA-AE=
12
5
,∴Q(
4
5
12
5
).
∵?APQM1,∴QM1⊥x轴,且QM1=AP=2,∴M1
4
5
2
5
);
∵?APQM2,∴QM2⊥x轴,且QM2=AP=2,∴M2
4
5
22
5
);
如图(3),过M3点作M3F⊥y轴于点F,
∵?AQPM3,∴M3P=AQ,∠QAE=∠M3PF,∴∠PM3F=∠AQE;
在△M3PF与△QAE中,∵∠QAE=∠M3PF,M3P=AQ,∠PM3F=∠AQE,
∴△M3PF≌△QAE,
∴M3F=QE=
4
5
,PF=AE=
3
5
,∴OF=OP+PF=
8
5
,∴M3(-
4
5
8
5
).
∴当t=2时,在坐标平面内,存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形.
点M的坐标为:M1
4
5
2
5
),M2
4
5
22
5
),M3(-
4
5
8
5
).
点评:本题是动点型压轴题,综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、平行四边形等知识点.本题难点在于分类讨论思想的应用,第(2)(3)问中,均涉及到多种情况,需要逐一分析不能遗漏;另外注意解答中求动点时刻t和点的坐标的过程中,全等三角形、相似三角形、三角函数等知识发挥了重要作用,这是解答压轴题的常见技巧,需要熟练掌握.
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